मान लीजिए A और B आर्गंड तल में z_1 और z_2 को | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $z_1$ और $z_2$ समीकरण $Z^2+pZ+q=0$ के मूल हैं,इसलिए $z_1+z_2 = -p$ और $z_1z_2 = q$ है।चूंकि $OA=OB$,इसलिए $|z_1| = |z_2|$ है।मान ली

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$4q \cos^2 \left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है कि $z_1$ और $z_2$ समीकरण $Z^2+pZ+q=0$ के मूल हैं,इसलिए $z_1+z_2 = -p$ और $z_1z_2 = q$ है।चूंकि $OA=OB$,इसलिए $|z_1| = |z_2|$ है।मान लीजिए $z_1 = re^{i	heta_1}$ और $z_2 = re^{i	heta_2}$ है।$\angle AOB = \alpha$ दिया गया है,इसलिए $|	heta_1 - 	heta_2| = \alpha$ है।अतः $z_1/z_2 = e^{i(	heta_1-	heta_2)} = e^{\pm i\alpha}$ है।$z_1+z_2 = -p$ से,$p^2 = (z_1+z_2)^2 = z_1^2 + z_2^2 + 2z_1z_2$ है।साथ ही $p^2 - 4q = (z_1-z_2)^2$ है।अतः $p^2 = 4q + (z_1-z_2)^2 = 4q + z_2^2(z_1/z_2 - 1)^2$ है।$z_1/z_2 = e^{i\alpha}$ का उपयोग करने पर,$p^2 = 4q + z_2^2(e^{i\alpha}-1)^2 = 4q + z_2^2 e^{i\alpha}(e^{i\alpha/2} - e^{-i\alpha/2})^2$ प्राप्त होता है।चूंकि $z_1z_2 = q$,इसलिए $z_2^2 e^{i\alpha} = z_1z_2 = q$ है।अतः $p^2 = 4q + q(2i \sin(\alpha/2))^2 = 4q - 4q \sin^2(\alpha/2) = 4q \cos^2(\alpha/2)$ है।

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