मान लीजिए f: A rightarrow B और g: B rightarro | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $g \circ f: A \rightarrow C$ एकैकी है। परिभाषा के अनुसार,यदि $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$ है,तो सभी $x_1, x_2 \in A$ के लिए $x_1 = x_2$

Vedclass · Accepted Answer

$f$ एकैकी है और $g$ का एकैकी होना आवश्यक नहीं है

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि $g \circ f: A \rightarrow C$ एकैकी है। परिभाषा के अनुसार,यदि $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$ है,तो सभी $x_1, x_2 \in A$ के लिए $x_1 = x_2$ होता है। मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ है। तब $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$ होगा। चूंकि $g \circ f$ एकैकी है,यह दर्शाता है कि $x_1 = x_2$ है। अतः,$f$ का एकैकी होना अनिवार्य है। हालाँकि,$g$ का एकैकी होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए,यदि $A = \{1\}$,$B = \{2, 3\}$,$C = \{4\}$,$f(1) = 2$,$g(2) = 4$,$g(3) = 4$ है,तो $g \circ f(1) = 4$ एकैकी है,लेकिन $g$ एकैकी नहीं है। इसलिए,$f$ एकैकी है और $g$ का एकैकी होना आवश्यक नहीं है।

मान लीजिए $f: A \rightarrow B$ और $g: B \rightarrow C$ कोई दो फलन हैं और $g \circ f: A \rightarrow C$ एकैकी (one-one) है,तो

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मान लीजिए कि $f: \{1,3,4\} \rightarrow \{1,2,5\}$ और $g: \{1,2,5\} \rightarrow \{1,3\}$ इस प्रकार दिए गए हैं: $f = \{(1,2), (3,5), (4,1)\}$ और $g = \{(1,3), (2,3), (5,1)\}$। $g \circ f$ ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} \sin x, & x \neq n\pi, n \in I \\ 2, & \text{अन्यथा} \end{cases}$ और $g(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \neq 0, 2 \\ 2, & x = 0 \\ 4, & x = 2 \end{cases}$ है,तो $\lim_{x \rightarrow 0} g(f(x))$ ज्ञात कीजिए।

माना कि एक संबंध $R$,$R = \{(4, 5), (1, 4), (4, 6), (7, 6), (3, 7)\}$ द्वारा परिभाषित है,तो ${R^{ - 1}}oR$ क्या है?

मान लीजिए $f(x)=\sqrt{x^{2}-3x+2}$ और $g(x)=\sqrt{x}$ दो दिए गए फलन हैं। यदि $S$, $f \circ g$ का प्रांत है और $T$, $g \circ f$ का प्रांत है, तो:

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