ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=2x+3$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. જો $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $f(x^2)-2f(\frac{x}{2})-1=0$ ના બીજ હોય,તો $\alpha^2+\beta^2=$

ધારો કે $g(x) = ||x + 2| - 3|$. જો $a$ એ સાપેક્ષ ન્યૂનતમ (relative minima) ની સંખ્યા દર્શાવે છે,$b$ એ સાપેક્ષ મહત્તમ (relative maxima) ની સંખ્યા દર્શાવે છે અને $c$ એ $g(x)$ ના શૂન્યોનો ગુણાકાર દર્શાવે છે,તો $(a + 2b - c)$ નું મૂલ્ય શું છે?

જો $f(x) = 2\sin x$ અને $g(x) = \cos^2 x$ હોય,તો $(f + g)\left(\frac{\pi}{3}\right) = $

આપેલ ફકરામાં આપેલી માહિતીના આધારે યાદીઓને યોગ્ય રીતે જોડીને નીચેનાનો જવાબ આપો.
ધારો કે $f(x) = \sin(\pi \cos x)$ અને $g(x) = \cos(2\pi \sin x)$ એ $x > 0$ માટે વ્યાખ્યાયિત બે વિધેયો છે. નીચેના ગણોને વ્યાખ્યાયિત કરો જેના ઘટકો વધતા ક્રમમાં લખાયેલ છે:
$X = \{x : f(x) = 0\}, Y = \{x : f'(x) = 0\}$
$Z = \{x : g(x) = 0\}, W = \{x : g'(x) = 0\}$
$List-I$ માં ગણો $X, Y, Z$ અને $W$ છે. $List-II$ માં આ ગણો સંબંધિત કેટલીક માહિતી છે.

$List-I$	$List-II$
$(I) X$	$(P) \supseteq \{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, 4\pi, 7\pi\}$
$(II) Y$	$(Q) \text{ સમાંતર શ્રેણી}$
$(III) Z$	$(R) \text{ સમાંતર શ્રેણી નથી}$
$(IV) W$	$(S) \supseteq \{\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}\}$
	$(T) \supseteq \{\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi\}$
	$(U) \supseteq \{\frac{\pi}{6}, \frac{3\pi}{4}\}$

$(1)$ નીચેનામાંથી કયું એકમાત્ર $CORRECT$ સંયોજન છે?
$(1) (II), (R), (S)$ $(2) (I), (P), (R)$ $(3) (II), (Q), (T)$ $(4) (I), (Q), (U)$
$(2)$ નીચેનામાંથી કયું એકમાત્ર $CORRECT$ સંયોજન છે?
$(1) (IV), (Q), (T)$ $(2) (IV), (P), (R), (S)$ $(3) (III), (R), (U)$ $(4) (III), (P), (Q), (U)$

વિધેય $f(x) = \sec \left[ \log \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) \right]$ એ . . . . . . વિધેય છે.

જો $X$ અને $Y$ બે અરિક્ત ગણ હોય જ્યાં $f: X \to Y$ એવું વિધેય છે કે જેથી $C \subseteq X$ માટે $f(C) = \{f(x) : x \in C\}$ અને $D \subseteq Y$ માટે $f^{-1}(D) = \{x : f(x) \in D\}$ વ્યાખ્યાયિત છે,તો કોઈપણ $A \subseteq X$ અને $B \subseteq Y$ માટે,નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?