ધારો કે [t] એ t થી વધુ ન હોય તેવો સૌથી મોટો પ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $g(x) = x^{1/x}$. આપણે $x \in (0, \infty)$ માટે $g(x)$ ના વર્તનની તપાસ કરીએ.પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln(g(x)) = \frac{\ln(x)}{x}$.ધારો કે $

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $g(x) = x^{1/x}$. આપણે $x \in (0, \infty)$ માટે $g(x)$ ના વર્તનની તપાસ કરીએ.પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln(g(x)) = \frac{\ln(x)}{x}$.ધારો કે $h(x) = \frac{\ln(x)}{x}$. તો $h'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$.વિધેય $h(x)$ ને $x = e$ પર મહત્તમ કિંમત મળે છે,જ્યાં $h(e) = \frac{1}{e} \approx 0.367$.આમ,$g(x) = e^{h(x)}$ ને $x = e$ પર મહત્તમ કિંમત મળે છે,જ્યાં $g(e) = e^{1/e} \approx e^{0.367} \approx 1.44$.જેમ $x 	o 0^+$,તેમ $g(x) 	o 0$,અને જેમ $x 	o \infty$,તેમ $g(x) 	o 1$.$g(x)$ નો વિસ્તાર $(0, e^{1/e}]$ છે.મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[g(x)]$ ત્યારે અસતત હોય છે જ્યારે $g(x)$ પૂર્ણાંક કિંમત ધારણ કરે.વિસ્તાર $(0, 1.44]$ હોવાથી,$g(x)$ માત્ર $1$ પૂર્ણાંક કિંમત ધારણ કરી શકે છે.$x^{1/x} = 1$ નો અર્થ છે $x = 1$.$x = 1$ પર,$f(1) = [1^{1/1}] = [1] = 1$.$x$ ની $1$ થી થોડી નાની કિંમત માટે,$x^{1/x} $x$ ની $1$ થી થોડી મોટી કિંમત માટે,$x^{1/x} > 1$ (પરંતુ $1.44$ થી ઓછી),તેથી $[x^{1/x}] = 1$.$x = 1$ પર ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ અલગ હોવાથી,વિધેય $x = 1$ પર અસતત છે.આમ,અસતત બિંદુઓની સંખ્યા માત્ર $1$ છે.

ધારો કે $[t]$ એ $t$ થી વધુ ન હોય તેવો સૌથી મોટો પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. તો $(0, \infty)$ માં $f(x) = [x^{1/x}]$ ના અસતત બિંદુઓની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

તપાસો કે $f(x) = \sin |x|$ એ સતત વિધેય છે કે નહીં.

જો $f(x) = \begin{cases} x \sin x, & 0 < x \le \frac{\pi}{2} \\ \frac{\pi}{2} \sin(\pi + x), & \frac{\pi}{2} < x < \pi \end{cases}$,તો

જો $f(x) = \begin{cases} e^{1/x}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ હોય,તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module