मान लीजिए [t] उस सबसे बड़े पूर्णांक को दर्शात | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $g(x) = x^{1/x}$ है। हम $x \in (0, \infty)$ के लिए $g(x)$ के व्यवहार का विश्लेषण करते हैं।प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(g(x)) = \frac{\l

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$1$

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(B) मान लीजिए $g(x) = x^{1/x}$ है। हम $x \in (0, \infty)$ के लिए $g(x)$ के व्यवहार का विश्लेषण करते हैं।प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(g(x)) = \frac{\ln(x)}{x}$ प्राप्त होता है।मान लीजिए $h(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ है। तब $h'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$ है।फलन $h(x)$ का मान $x = e$ पर अधिकतम होता है,जहाँ $h(e) = \frac{1}{e} \approx 0.367$ है।इस प्रकार,$g(x) = e^{h(x)}$ का मान $x = e$ पर अधिकतम होता है,जहाँ $g(e) = e^{1/e} \approx e^{0.367} \approx 1.44$ है।जैसे $x 	o 0^+$,$g(x) 	o 0$,और जैसे $x 	o \infty$,$g(x) 	o 1$ होता है।$g(x)$ का परिसर $(0, e^{1/e}]$ है।महत्तम पूर्णांक फलन $[g(x)]$ तब असतत होता है जब $g(x)$ एक पूर्णांक मान लेता है।चूंकि परिसर $(0, 1.44]$ है,इसलिए $g(x)$ केवल $1$ पूर्णांक मान ले सकता है।$x^{1/x} = 1$ का अर्थ है $x = 1$ है।$x = 1$ पर,$f(1) = [1^{1/1}] = [1] = 1$ है।$x$ के $1$ से थोड़े कम मान के लिए,$x^{1/x} $x$ के $1$ से थोड़े अधिक मान के लिए,$x^{1/x} > 1$ (लेकिन $1.44$ से कम),इसलिए $[x^{1/x}] = 1$ है।चूंकि $x = 1$ पर बायां सीमा और दायां सीमा अलग-अलग हैं,इसलिए फलन $x = 1$ पर असतत है।अतः,असतत बिंदुओं की संख्या केवल $1$ है।

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