मान लीजिए alpha और beta (alpha

Question

(D) दिया गया है $f(x) = x^2$ और $g(x) = \cos x$,अतः $g(f(x)) = \cos(x^2)$ है।द्विघात समीकरण $18x^2 - 9\pi x + \pi^2 = 0$ के लिए,मूल द्विघात सूत्र द्वा

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$\frac{1}{2} (\sin \frac{\pi^2}{9} - \sin \frac{\pi^2}{36})$

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(D) दिया गया है $f(x) = x^2$ और $g(x) = \cos x$,अतः $g(f(x)) = \cos(x^2)$ है।द्विघात समीकरण $18x^2 - 9\pi x + \pi^2 = 0$ के लिए,मूल द्विघात सूत्र द्वारा प्राप्त होते हैं:$x = \frac{9\pi \pm \sqrt{(9\pi)^2 - 4(18)(\pi^2)}}{2(18)} = \frac{9\pi \pm \sqrt{81\pi^2 - 72\pi^2}}{36} = \frac{9\pi \pm 3\pi}{36}$.अतः,मूल $x = \frac{12\pi}{36} = \frac{\pi}{3}$ और $x = \frac{6\pi}{36} = \frac{\pi}{6}$ हैं।चूंकि $\alpha हमें $I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} x \cos(x^2) dx$ का मान ज्ञात करना है।मान लीजिए $t = x^2$,तब $dt = 2x dx$,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{dt}{2}$।जब $x = \frac{\pi}{6}$,तब $t = \frac{\pi^2}{36}$। जब $x = \frac{\pi}{3}$,तब $t = \frac{\pi^2}{9}$।समाकलन में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int_{\pi^2/36}^{\pi^2/9} \cos(t) \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} [\sin(t)]_{\pi^2/36}^{\pi^2/9} = \frac{1}{2} (\sin \frac{\pi^2}{9} - \sin \frac{\pi^2}{36})$।

मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ $(\alpha < \beta)$ समीकरण $18x^2 - 9\pi x + \pi^2 = 0$,$f(x) = x^2$,और $g(x) = \cos x$ के मूल हैं। तो $\int_{\alpha}^{\beta} x (g \circ f(x)) dx =$

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