ધારો કે $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ એ ત્રણ અસમતલીય સદિશો છે. જો $m$ અને $n$ એવા અદિશો હોય કે જેથી $\vec{a}+\vec{b}=m \vec{d}-\vec{c}$ અને $\vec{b}+\vec{c}=n \vec{a}-\vec{d}$ થાય,તો $3 \vec{a}+2 \vec{b}+2 \vec{c}+\vec{d}=$

ધારો કે $\triangle PQR$ એક ત્રિકોણ છે. ધારો કે $\vec{a}=\overline{QR}, \vec{b}=\overline{RP}$ અને $\vec{c}=\overline{PQ}$. જો $|\vec{a}|=12, |\vec{b}|=4\sqrt{3}$ અને $\vec{b} \cdot \vec{c}=24$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું (કયા) વિધાન સાચું છે?
$(A) \frac{|\vec{c}|^2}{2}-|\vec{a}|=12$
$(B) \frac{|\vec{c}|^2}{2}+|\vec{a}|=30$
$(C) |\vec{a} \times \vec{b}+\vec{c} \times \vec{a}|=48\sqrt{3}$
$(D) \vec{a} \cdot \vec{b}=-72$

જો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ અસમતલીય સદિશો હોય અને જો $\vec{d}$ એવું હોય કે $\vec{d} = \frac{1}{x}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ અને $\vec{d} = \frac{1}{y}(\vec{b} + \vec{c} + \vec{d})$ જ્યાં $x$ અને $y$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, તો $\frac{1}{xy}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d})$ ની કિંમત શું થાય?

$(x_1 - x_2)^2 + (\sqrt{2 - x_1^2} - \frac{9}{x_2})^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો,જ્યાં $x_1 \in (0, \sqrt{2})$ અને $x_2 \in R^+$.

ધારો કે $\vec{w}=\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$,અને $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ બે સદિશો છે જેથી $\vec{u} \times \vec{v}=\vec{w}$ અને $\vec{v} \times \vec{w}=\vec{u}$. ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ અને $t$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $\vec{u}=\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+\gamma \hat{k}$,$-t \alpha+\beta+\gamma=0$,$\alpha-t \beta+\gamma=0$,અને $\alpha+\beta-t \gamma=0$. List-$I$ ની દરેક એન્ટ્રીને List-$II$ ની સાચી એન્ટ્રી સાથે જોડો અને સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો.

List-$I$	List-$II$
$(P)$ $|\vec{v}|^2$ બરાબર છે	$(1)$ $0$
$(Q)$ જો $\alpha=\sqrt{3}$,તો $\gamma^2$ બરાબર છે	$(2)$ $1$
$(R)$ જો $\alpha=\sqrt{3}$,તો $(\beta+\gamma)^2$ બરાબર છે	$(3)$ $2$
$(S)$ જો $\alpha=\sqrt{2}$,તો $t+3$ બરાબર છે	$(4)$ $3$
	$(5)$ $5$

જો $\overrightarrow{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{b}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{c}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ અને $\overrightarrow{d}=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ હોય, તો નીચેની List-$I$ ને List-$II$ સાથે જોડો:

List-$I$	List-$II$
$(i)$ $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$	$(A)$ $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d}$
(ii) $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$	$(B)$ $3$
(iii) $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]$	$(C)$ $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}$
(iv) $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}$	$(D)$ $2\hat{i}-2\hat{k}$
	$(E)$ $2\hat{j}+2\hat{k}$
	$(F)$ $4$