मान लीजिए X एक यादृच्छिक चर है जो एक निश्चित | vedclass

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Question

(A) यादृच्छिक चर $X$ समुच्चय $\{1, 2, \ldots, n\}$ पर असतत समान वितरण का पालन करता है।माध्य $E[X]$ इस प्रकार है:$E[X] = \sum_{k=1}^{n} k \cdot P(X=k)

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{n^2-1}{12}$

Vedclass · Answer

(A) यादृच्छिक चर $X$ समुच्चय $\{1, 2, \ldots, n\}$ पर असतत समान वितरण का पालन करता है।माध्य $E[X]$ इस प्रकार है:$E[X] = \sum_{k=1}^{n} k \cdot P(X=k) = \sum_{k=1}^{n} k \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}$.$X^2$ का अपेक्षित मान इस प्रकार है:$E[X^2] = \sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot P(X=k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$.प्रसरण $Var(X)$ इस प्रकार है:$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \left(\frac{n+1}{2}\right)^2$.$\frac{n+1}{2}$ को कॉमन लेने पर:$Var(X) = \frac{n+1}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} - \frac{n+1}{2} \right] = \frac{n+1}{2} \left[ \frac{4n+2 - 3n - 3}{6} \right] = \frac{n+1}{2} \cdot \frac{n-1}{6} = \frac{n^2-1}{12}$.

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एक यादृच्छिक चर $X$ समान प्रायिकताओं के साथ $1, 2, 3, \ldots, n$ मान ग्रहण करता है। यदि $\operatorname{var}(X) : E(X) = 4 : 1$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $x$ एक यादृच्छिक चर (random variable) है जिसका $PMF$ इस प्रकार है: $P(X = x) = \begin{cases} \frac{5}{16}, & x = 0, 1 \\ \frac{kx}{48}, & x = 2 \\ \frac{1}{4}, & x = 3 \end{cases}$ तो $E(x)$ ज्ञात कीजिए।

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