ધારો કે $m = (9n^2 + 54n + 80)(9n^2 + 45n + 54)(9n^2 + 36n + 35)$. તમામ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $m$ ને ભાગતી સૌથી મોટી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા કઈ છે?

ભિન્ન રંગના પાંચ દડાને ભિન્ન કદના ત્રણ ખોખાંમાં મૂકવામાં આવે,દરેક ખોખું બધાં જ પાંચ દડા સમાવી શકે છે. એક પણ ખોખું ખાલી ન રહે તેવી રીતે દડા કેટલી રીતે મૂકી શકાય?

$A, B, C, D, E$ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને પાંચ અક્ષરના તમામ શબ્દો બનાવવામાં આવે છે અને અંગ્રેજી શબ્દકોશ મુજબ ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે છે. ધારો કે $n$ ક્રમાંક પરના શબ્દને $W_{n}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. જો શબ્દ $W_{n}$ પસંદ કરવાની સંભાવના $P(W_{n}) = 2P(W_{n-1}), n > 1$ નું પાલન કરે છે. જો $P(CDBEA) = \frac{2^{\alpha}}{2^{\beta}-1}, \alpha, \beta \in N$ હોય,તો $\alpha + \beta$ ની કિંમત શોધો.

$5$-અંકી એવી કેટલી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે કે જેના અંકોનો ગુણાકાર $36$ થાય?

ધારો કે $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. ધારો કે $x$ એ ગણ $S$ ના અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી $9$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા છે જેમાં માત્ર એક અંકનું પુનરાવર્તન થાય છે અને તે બરાબર બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે. ધારો કે $y$ એ ગણ $S$ ના અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી $9$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા છે જેમાં માત્ર બે અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે અને તે દરેક બરાબર બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે. તો,

$ASSASSIN$ શબ્દના અક્ષરોને કેટલી રીતે ગોઠવી શકાય કે જેથી બે $S$ સાથે ન આવે?