मान लीजिए कि S और S^{prime} एक दीर्घवृत्त E क | vedclass

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Question

(C) दीर्घवृत्त $E$ का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।नाभियाँ $S(ae, 0)$ और $S^{\prime}(-ae, 0)$ हैं,और लघु अक्ष का

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$80$

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(C) दीर्घवृत्त $E$ का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।नाभियाँ $S(ae, 0)$ और $S^{\prime}(-ae, 0)$ हैं,और लघु अक्ष का सिरा $B(0, b)$ है।दिया गया है $\angle S^{\prime} SB = \frac{\pi}{6}$। $	riangle OBS$ में,$\angle OSB = \frac{\pi}{6}$ है।अतः,$	an(\frac{\pi}{6}) = \frac{OB}{OS} = \frac{b}{ae} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।इससे $3b^2 = a^2e^2$ प्राप्त होता है।चूँकि $b^2 = a^2(1 - e^2)$,हमारे पास $a^2e^2 = a^2 - b^2$ है।इसे प्रतिस्थापित करने पर,$3b^2 = a^2 - b^2$,जो $a^2 = 4b^2$ देता है।बिंदु $(2\sqrt{3}, 1)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,इसलिए $\frac{(2\sqrt{3})^2}{a^2} + \frac{1^2}{b^2} = 1$ है।$a^2 = 4b^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{12}{4b^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है,जो $\frac{3}{b^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ में सरल हो जाता है।अतः,$\frac{4}{b^2} = 1$,जिससे $b^2 = 4$ और $a^2 = 16$ प्राप्त होता है।दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a$ है और लघु अक्ष की लंबाई $2b$ है।लंबाइयों के वर्गों का योग $(2a)^2 + (2b)^2 = 4a^2 + 4b^2 = 4(16) + 4(4) = 64 + 16 = 80$ है।

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