मान लीजिए $a, b, c$ तीन असमतलीय सदिश इस प्रकार हैं कि $r_1 = a - b + c$,$r_2 = b + c - a$,$r_3 = c + a + b$,और $r = 2a - 3b + 4c$ है। यदि $r = \lambda_1 r_1 + \lambda_2 r_2 + \lambda_3 r_3$ है,तो:

यदि $a=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$, $b=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ और $c=3 \hat{i}-4 \hat{k}$ है, तो List-$I$ की वस्तुओं का List-$II$ के साथ मिलान करें।

$A$. $a-b$ की विपरीत दिशा में इकाई सदिश	$(i) \ 5 \hat{i} + 3 \hat{j} - 3 \hat{k}$
$B$. यदि $\vec{AB} = a, \vec{BC} = b$ है, तो $\vec{CA} =$	$(ii) \ 2 \hat{i} - \frac{8}{3} \hat{k}$
$C$. यदि $a, b, c$ एक त्रिभुज के शीर्षों के स्थिति सदिश हैं, तो इसका केंद्रक है	$(iii) \ -3 \hat{i} + 4 \hat{k}$
$D$. यदि $d$ एक सदिश है जिसका परिमाण $2 \sqrt{14}$ है और यह सदिश $a$ के समानांतर है, तो $b + d =$	$(iv) \ -\frac{\hat{i}}{\sqrt{73}} - \frac{6 \hat{j}}{\sqrt{73}} - \frac{6 \hat{k}}{\sqrt{73}}$
	$(v) \ 3 \hat{i} + 5 \hat{j} - 3 \hat{k}$

मान लीजिए $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ दो सदिश हैं। एक सदिश $\vec{c} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$ पर विचार करें,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ है। यदि सदिश $(\vec{a} + \vec{b})$ पर $\vec{c}$ का प्रक्षेप $3\sqrt{2}$ है,तो $(\vec{c} - (\vec{a} \times \vec{b})) \cdot \vec{c}$ का न्यूनतम मान क्या होगा?

सूची $I$ का सूची $II$ के साथ मिलान करें और सूचियों के नीचे दिए गए कोड का उपयोग करके सही उत्तर चुनें:

सूची $I$	सूची $II$
$P$. सदिशों $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक का आयतन $2$ है। तब सदिशों $2(\vec{a} \times \vec{b}), 3(\vec{b} \times \vec{c})$ और $(\vec{c} \times \vec{a})$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक का आयतन ज्ञात कीजिए।	$1$. $100$
$Q$. सदिशों $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक का आयतन $5$ है। तब सदिशों $3(\vec{a}+\vec{b}), (\vec{b}+\vec{c})$ और $2(\vec{c}+\vec{a})$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक का आयतन ज्ञात कीजिए।	$2$. $30$
$R$. सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ द्वारा निर्धारित आसन्न भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $20$ है। तब सदिशों $(2\vec{a}+3\vec{b})$ और $(\vec{a}-\vec{b})$ द्वारा निर्धारित आसन्न भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।	$3$. $24$
$S$. सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ द्वारा निर्धारित आसन्न भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $30$ है। तब सदिशों $(\vec{a}+\vec{b})$ और $\vec{a}$ द्वारा निर्धारित आसन्न भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।	$4$. $60$

कोड: $P \quad Q \quad R \quad S$

मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ तीन इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$। यदि $\lambda=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}$ और $\vec{d}=\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}$ है,तो क्रमित युग्म $(\lambda, \vec{d})$ किसके बराबर है?

मान लीजिए $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{d}=\vec{a} \times \vec{b}$ है। यदि $\vec{c}$ एक ऐसा सदिश है कि $\vec{a} \cdot \vec{c}=|\vec{c}|$,$|\vec{c}-2\vec{a}|^2=8$ और $\vec{d}$ तथा $\vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है,तो $|10-3\vec{b} \cdot \vec{c}|+|\vec{d} \times \vec{c}|^2$ का मान . . . . . . है।