मान लीजिए vec{a} = 2hat{i} + hat{j} - hat{k} | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.तब $\vec{a} + \vec{b} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 0\h

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$18$

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(A) दिया गया है $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.तब $\vec{a} + \vec{b} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 0\hat{k} = 3(\hat{i} + \hat{j})$.$|\vec{a} + \vec{b}| = 3\sqrt{1^2 + 1^2} = 3\sqrt{2}$.$(\vec{a} + \vec{b})$ पर $\vec{c}$ का प्रक्षेप $\frac{\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b})}{|\vec{a} + \vec{b}|} = 3\sqrt{2}$ है।चूँकि $\vec{c} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$,$\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = (\alpha\vec{a} + \beta\vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \alpha|\vec{a}|^2 + \beta|\vec{b}|^2 + (\alpha + \beta)(\vec{a} \cdot \vec{b})$.$|\vec{a}|^2 = 6$,$|\vec{b}|^2 = 6$,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$.अतः,$6\alpha + 6\beta + 3(\alpha + \beta) = 9(\alpha + \beta)$.इस प्रकार,$\frac{9(\alpha + \beta)}{3\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \implies 9(\alpha + \beta) = 18 \implies \alpha + \beta = 2$.अब,$(\vec{c} - (\vec{a} 	imes \vec{b})) \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2 - (\vec{a} 	imes \vec{b}) \cdot \vec{c}$.चूँकि $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में है,इसलिए $(\vec{a} 	imes \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$.अतः,व्यंजक $|\vec{c}|^2 = |\alpha\vec{a} + \beta\vec{b}|^2 = 6\alpha^2 + 6\beta^2 + 6\alpha\beta = 6(\alpha^2 + \beta^2 + \alpha\beta)$ होगा।$\beta = 2 - \alpha$ प्रतिस्थापित करने पर: $6(\alpha^2 + (2-\alpha)^2 + \alpha(2-\alpha)) = 6(\alpha^2 - 2\alpha + 4) = 6((\alpha - 1)^2 + 3)$.न्यूनतम मान $6 	imes 3 = 18$ है।

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