मान लीजिए p, q वास्तविक संख्याएँ हैं। यदि alp | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $\alpha$, $x^{2}+3 p^{2} x+5 q^{2}=0$ का एक मूल है, इसलिए $\alpha^{2}+3 p^{2} \alpha+5 q^{2}=0$ है। $\beta$, $x^{2}+9 p^{2} x+15 q^

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$\alpha < \gamma < \beta$

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(D) दिया गया है कि $\alpha$, $x^{2}+3 p^{2} x+5 q^{2}=0$ का एक मूल है, इसलिए $\alpha^{2}+3 p^{2} \alpha+5 q^{2}=0$ है। $\beta$, $x^{2}+9 p^{2} x+15 q^{2}=0$ का एक मूल है, इसलिए $\beta^{2}+9 p^{2} \beta+15 q^{2}=0$ है। मान लीजिए $f(x)=x^{2}+6 p^{2} x+10 q^{2}$ है। $f(\alpha)$ का मान ज्ञात करने पर: $f(\alpha)=\alpha^{2}+6 p^{2} \alpha+10 q^{2} = (\alpha^{2}+3 p^{2} \alpha+5 q^{2}) + 3 p^{2} \alpha + 5 q^{2} = 3 p^{2} \alpha + 5 q^{2} > 0$ है। $f(\beta)$ का मान ज्ञात करने पर: $f(\beta)=\beta^{2}+6 p^{2} \beta+10 q^{2} = (\beta^{2}+9 p^{2} \beta+15 q^{2}) - (3 p^{2} \beta + 5 q^{2}) = -(3 p^{2} \beta + 5 q^{2}) चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है और $f(\alpha) > 0$ तथा $f(\beta) < 0$ है, इसलिए मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार, एक ऐसा मूल $\gamma$ मौजूद है जो $\alpha < \gamma < \beta$ को संतुष्ट करता है।

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