मान लीजिए S अनंत श्रेणी 1+frac{8}{2!}+frac{21 | vedclass

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Question

(C) अंश में दी गई श्रेणी $1, 8, 21, 40, 65, \ldots$ का सामान्य पद $T_n$ अंतर विधि द्वारा ज्ञात किया जा सकता है। प्रथम अंतर $7, 13, 19, 25, \ldots$ हैं

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$8 < S < 12$

Vedclass · Answer

(C) अंश में दी गई श्रेणी $1, 8, 21, 40, 65, \ldots$ का सामान्य पद $T_n$ अंतर विधि द्वारा ज्ञात किया जा सकता है। प्रथम अंतर $7, 13, 19, 25, \ldots$ हैं, जो $6$ के सार्व अंतर के साथ एक समांतर श्रेणी बनाते हैं। अतः, $T_n = an^2 + bn + c$। $n=1$ के लिए, $T_1 = a+b+c = 1$। $n=2$ के लिए, $T_2 = 4a+2b+c = 8$। $n=3$ के लिए, $T_3 = 9a+3b+c = 21$। इन्हें हल करने पर, हमें $a=3, b=-2, c=0$ प्राप्त होता है। इसलिए, $T_n = 3n^2 - 2n = n(3n-2)$। श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(3n-2)}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n^2-2n}{n!}$ है। चूंकि पहला पद $1$ ($n=1$ के लिए) है, हम $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n-2}{(n-1)!}$ लिख सकते हैं। मान लीजिए $k = n-1$, तो $n = k+1$। $S = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{3(k+1)-2}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{3k+1}{k!} = 3\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k!} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 3\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k-1)!} + e = 3e + e = 4e$। चूंकि $2 अतः, $8 < S < 12$।

मान लीजिए $S$ अनंत श्रेणी $1+\frac{8}{2!}+\frac{21}{3!}+\frac{40}{4!}+\frac{65}{5!}+\ldots$ के योग को दर्शाता है। तो

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श्रेणी $\frac{2}{1!} + \frac{6}{2!} + \frac{12}{3!} + \frac{20}{4!} + \dots$ का योग क्या है?

$1 + \frac{2^3}{2!} + \frac{3^3}{3!} + \frac{4^3}{4!} + \dots \infty =$ ($e$ में)

$1 + \frac{2}{3!} + \frac{3}{5!} + \frac{4}{7!} + \dots \infty = \,$

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