माना कि (1+x+x^2)^9=a_0+a_1 x+a_2 x^2 +ldots+ | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $(1+x+x^2)^9 = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{18} x^{18}$. $x = 1$ रखने पर, हमें प्राप्त होता है $(1+1+1)^9 = a_0 + a_1 + a_2 + \

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$a_0+a_2+\ldots+a_{18}$ एक सम संख्या है

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $(1+x+x^2)^9 = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{18} x^{18}$. $x = 1$ रखने पर, हमें प्राप्त होता है $(1+1+1)^9 = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{18} \Rightarrow 3^9 = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{18} \quad (i)$. $x = -1$ रखने पर, हमें प्राप्त होता है $(1-1+1)^9 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{18} \Rightarrow 1 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{18} \quad (ii)$. $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर, $3^9 + 1 = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \ldots + a_{18})$. अतः, $a_0 + a_2 + a_4 + \ldots + a_{18} = \frac{3^9 + 1}{2} = \frac{19683 + 1}{2} = \frac{19684}{2} = 9842$. चूँकि $9842$ एक सम संख्या है, विकल्प $B$ सही है।

माना कि $(1+x+x^2)^9=a_0+a_1 x+a_2 x^2 +\ldots+a_{18} x^{18}$. तो

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$(1+x)^{100}+2x(1+x)^{99}+3x^2(1+x)^{98}+\dots+101x^{100}$ के विस्तार में $x^{50}$ का गुणांक है:

मान लीजिए $(1+x+x^2)^{2014} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots + a_{4028} x^{4028}$. मान लीजिए $A = a_0 - a_3 + a_6 - \ldots + a_{4026}$,$B = a_1 - a_4 + a_7 - \ldots - a_{4027}$,और $C = a_2 - a_5 + a_8 - \ldots + a_{4028}$. तो,

$\sum\limits_{n = 0}^4 {{{\left( {1009 - 2n} \right)}^4} \binom{4}{n} {\left( { - 1} \right)^n}}$ का मान क्या है?

श्रेणी $\sum\limits_{r = 0}^n {(-1)^r \, ^nC_r \left( \frac{1}{2^r} + \frac{3^r}{2^{2r}} + \frac{7^r}{2^{3r}} + \frac{15^r}{2^{4r}} + \dots + m \text{ पद} \right)}$ का योग ज्ञात कीजिए।

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