मान लीजिए f: R rightarrow R, x=0 पर अवकलनीय ह | vedclass

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Question

(C) दिया गया है, $f(0)=0$ और $f'(0)=2$। सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sum_{k=1}^{2015} f(kx)}{x}$ के लिए $L$'Hopital नियम का उपयोग करने पर: $=

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$2015 	imes 2016$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है, $f(0)=0$ और $f'(0)=2$। सीमा $\lim _{x ightarrow 0} \frac{\sum_{k=1}^{2015} f(kx)}{x}$ के लिए $L$'Hopital नियम का उपयोग करने पर: $= \lim _{x ightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx} [f(x)+f(2 x)+f(3 x)+\ldots+f(2015 x)]}{1}$ $= \lim _{x ightarrow 0} [f'(x) + 2f'(2x) + 3f'(3x) + \ldots + 2015f'(2015x)]$ $= f'(0) + 2f'(0) + 3f'(0) + \ldots + 2015f'(0)$ $= f'(0) [1 + 2 + 3 + \ldots + 2015]$ $= 2 	imes \frac{2015(2015+1)}{2}$ $= 2015 	imes 2016$.

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$, $x=0$ पर अवकलनीय है। यदि $f(0)=0$ और $f'(0)=2$ है, तो $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} [f(x)+f(2 x)+f(3 x)+\ldots+f(2015 x)]$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $f(1) = 1$ और $f'(1) = 2$ है,तो $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {f(x)} - 1}}{{\sqrt x - 1}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$n > 0$ के लिए $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} (x^{n} \ln x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित में से कौन सी सीमाएं शून्य हो जाती हैं? (जहाँ $[ \cdot ]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin x - x + \frac{x^3}{6}}{x^5} \right) = $

$\lim _{x \rightarrow \pi / 6} \left[ \frac{3 \sin x - \sqrt{3} \cos x}{6x - \pi} \right]$ का मान ज्ञात कीजिए:

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