यदि f(1) = 1 और f'(1) = 2 है,तो mathop {lim } | vedclass

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Question

(A) माना $y = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 1} \frac{{\sqrt {f(x)} - 1}}{{\sqrt x - 1}}$.अंश और हर को $(\sqrt{f(x)} + 1)$ और $(\sqrt{x} + 1)$ से गुणा

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$2$

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(A) माना $y = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 1} \frac{{\sqrt {f(x)} - 1}}{{\sqrt x - 1}}$.अंश और हर को $(\sqrt{f(x)} + 1)$ और $(\sqrt{x} + 1)$ से गुणा करने पर:$y = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 1} \frac{(\sqrt{f(x)} - 1)(\sqrt{f(x)} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} 	imes \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{f(x)} + 1}$$y = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 1} \frac{f(x) - 1}{x - 1} 	imes \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{f(x)} + 1}$चूंकि $f(1) = 1$,हम $f(x) - 1$ को $f(x) - f(1)$ के रूप में लिख सकते हैं:$y = \left( \mathop {\lim }\limits_{x 	o 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} ight) 	imes \left( \mathop {\lim }\limits_{x 	o 1} \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{f(x)} + 1} ight)$$y = f'(1) 	imes \frac{\sqrt{1} + 1}{\sqrt{f(1)} + 1} = 2 	imes \frac{2}{1 + 1} = 2 	imes 1 = 2$.वैकल्पिक रूप से,$L$-Hospital नियम का उपयोग करने पर:$\mathop {\lim }\limits_{x 	o 1} \frac{\frac{1}{2\sqrt{f(x)}} f'(x)}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 1} \frac{f'(x) \sqrt{x}}{\sqrt{f(x)}} = \frac{f'(1) \sqrt{1}}{\sqrt{f(1)}} = \frac{2 	imes 1}{1} = 2$.

यदि $f(1) = 1$ और $f'(1) = 2$ है,तो $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {f(x)} - 1}}{{\sqrt x - 1}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $f(3) = 6$ और $f'(3) = 2$ है,तो $\mathop {\text{Limit}}\limits_{x \to 3} \frac{x f(3) - 3 f(x)}{x - 3}$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{4 \sqrt{2}-(\cos x+\sin x)^5}{1-\sin 2 x} = $

$\lim _{x \rightarrow 0} \left[ \frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} \right] = $

$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi /2} (\sec \theta - \tan \theta ) = $

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