मान लीजिए $R$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और फलन $f: R \rightarrow R$ तथा $g: R \rightarrow R$, $f(x) = x^{2} + 2x - 3$ और $g(x) = x + 1$ द्वारा परिभाषित हैं। तो, $x$ का वह मान जिसके लिए $f(g(x)) = g(f(x))$ है, होगा

माना $N$ प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है और दो फलन $f$ और $g$ इस प्रकार परिभाषित हैं कि $f, g : N \to N$ जहाँ $f(n) = \begin{cases} \frac{n+1}{2} & \text{यदि } n \text{ विषम है} \\ \frac{n}{2} & \text{यदि } n \text{ सम है} \end{cases}$ और $g(n) = n - (-1)^n$ है। तो $fog$ है

दो फलनों $f: N \rightarrow Z$ और $g: Z \rightarrow Z$ के उदाहरण दीजिए ताकि $g \circ f$ एकैकी (injective) हो लेकिन $g$ एकैकी न हो। (संकेत: $f(x) = x$ और $g(x) = |x|$ पर विचार करें)

मान लीजिए $N$ सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है,और $Z$ सभी पूर्णांकों का समुच्चय है। फलन $f: N \rightarrow Z$ और $g: Z \rightarrow N$ पर विचार करें जो $f(n) = \begin{cases} (n+1)/2 & \text{यदि } n \text{ विषम है} \\ (4-n)/2 & \text{यदि } n \text{ सम है} \end{cases}$ और $g(n) = \begin{cases} 3+2n & \text{यदि } n \geq 0 \\ -2n & \text{यदि } n < 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित हैं। सभी $n \in N$ के लिए $(g \circ f)(n) = g(f(n))$ और सभी $n \in Z$ के लिए $(f \circ g)(n) = f(g(n))$ परिभाषित करें। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है (हैं)?

यदि $f: R \rightarrow R$ और $g: R \rightarrow R$ को $f(x)=|x|$ और $g(x)=[x-3]$ द्वारा $x \in R$ के लिए परिभाषित किया गया है, तो $\{g(f(x)):-\frac{8}{5} < x < \frac{8}{5}\}$ किसके बराबर है?

यदि $f(x) = |\cos x|$ और $g(x) = [x]$ है,तो $gof(x)$ किसके बराबर है?