मान लीजिए S, T, U तीन अरिक्त समुच्चय हैं और f | vedclass

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Question

(B) हमें दिया गया है कि $g \circ f: S \rightarrow U$ एक आच्छादक (onto) फलन है।आच्छादक फलन की परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक अवयव $z \in U$ के लिए, कम से

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$g$ आच्छादक है, $f$ आच्छादक नहीं भी हो सकता है

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(B) हमें दिया गया है कि $g \circ f: S \rightarrow U$ एक आच्छादक (onto) फलन है।आच्छादक फलन की परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक अवयव $z \in U$ के लिए, कम से कम एक अवयव $x \in S$ ऐसा विद्यमान है कि $(g \circ f)(x) = z$ हो।इसे $g(f(x)) = z$ के रूप में लिखा जा सकता है।मान लीजिए $y = f(x)$ है। चूंकि $x \in S$ और $f: S \rightarrow T$ है, इसलिए $y \in T$ होगा।इस मान को समीकरण में रखने पर, हमें $g(y) = z$ प्राप्त होता है।चूंकि प्रत्येक $z \in U$ के लिए, हमें $T$ में एक ऐसा अवयव $y$ मिलता है जिसके लिए $g(y) = z$ है, अतः $g: T \rightarrow U$ एक आच्छादक फलन है।हालाँकि, $f$ का आच्छादक होना आवश्यक नहीं है क्योंकि $T$ के वे अवयव जो $f$ के परिसर में नहीं हैं, वे $g \circ f$ की आच्छादकता को प्रभावित नहीं करते हैं, जब तक कि $f$ का परिसर $g$ के माध्यम से $U$ के सभी अवयवों को कवर करता हो।

मान लीजिए $S, T, U$ तीन अरिक्त समुच्चय हैं और $f: S \rightarrow T, g: T \rightarrow U$ ऐसे फलन हैं कि $g \circ f: S \rightarrow U$ आच्छादक (surjective) है। तो,

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सिद्ध कीजिए कि यदि $f: A \rightarrow B$ और $g: B \rightarrow C$ एकैकी (one-one) फलन हैं,तो $g \circ f: A \rightarrow C$ भी एकैकी होगा।

यदि $f$ महत्तम पूर्णांक फलन है और $g$ मापांक फलन है,तो $(gof)\left( -\frac{5}{3} \right) - (fog)\left( -\frac{5}{3} \right) = $

यदि $f(x) = \frac{(\tan 1^{\circ}) x + \log_{e}(123)}{x \log_{e}(1234) - (\tan 1^{\circ})}$,$x > 0$ है,तो $f(f(x)) + f(f(4/x))$ का न्यूनतम मान $...........$ है.

यदि $f: R \rightarrow R$ और $g: R \rightarrow R$ को $f(x)=2x+3$ और $g(x)=x^2+7$ द्वारा परिभाषित किया गया है, तो $x$ के वे मान क्या हैं जिनके लिए $g(f(x))=8$ है?

यदि $g(x)=x^{2}+x-1$ और $(g \circ f)(x)=4 x^{2}-10 x+5$ है,तो $f\left(\frac{5}{4}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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