ધારો કે $f:[1,3] \rightarrow R$ એ એક સતત વિધેય છે જે $(1,3)$ માં વિકલનીય છે અને તમામ $x \in(1,3)$ માટે $f^{\prime}(x)=|f(x)|^{2}+4$ છે. તો,

દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $2a + 3b + 6c = 0$ અને ધારો કે $g(x) = a\frac{x^3}{3} + b\frac{x^2}{2} + cx.$
વિધાન $1:$ દ્વિઘાત સમીકરણને અંતરાલ $(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બીજ છે.
વિધાન $2:$ રોલનું પ્રમેય અંતરાલ $[0, 1]$ પર વિધેય $g(x)$ માટે લાગુ પડે છે.

ધારો કે $f: [-1, 2] \rightarrow R$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $t \in [-1, 0]$ માટે $0 \le f'(t) \le 1$ અને $t \in [0, 2]$ માટે $-1 \le f'(t) \le 0$ છે. તો:

જો વિધેય $f(x) = 2x^2 + 3x + 5$ એ સંવૃત અંતરાલ $[1, a]$ પર $x = 3$ આગળ લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ નું પાલન કરતું હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $f^{\prime}(0)=-3$ અને $x$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે $f^{\prime}(x) \leq 5$ છે. તો $f(2)$ ની શક્ય મહત્તમ કિંમત કેટલી હોઈ શકે?

કયા અંતરાલ માટે વિધેય $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x - 1}$ રોલના પ્રમેયની તમામ શરતોનું પાલન કરે છે?