मान लीजिए f: R rightarrow R इस प्रकार है कि स | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $f(2x - 1) = f(x)$.किसी भी $x$ के लिए, हम लिख सकते हैं $f(x) = f(2x - 1) = f(2(2x - 1) - 1) = f(4x - 3) = f(2^n x - (2^n - 1))$.जैस

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$f(2) = 1$

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(A) दिया गया है कि $f(2x - 1) = f(x)$.किसी भी $x$ के लिए, हम लिख सकते हैं $f(x) = f(2x - 1) = f(2(2x - 1) - 1) = f(4x - 3) = f(2^n x - (2^n - 1))$.जैसे $n ightarrow \infty$, $2^n x - 2^n + 1 = 2^n(x - 1) + 1$ होता है।यदि $x 
eq 1$ है, तो $2^n(x - 1) + 1 ightarrow \pm \infty$ होता है।चूंकि $f$, $x = 1$ पर सतत है, हम $x ightarrow 1$ के रूप में सीमा पर विचार करते हैं। मान लीजिए $x_n$ एक अनुक्रम है जो $x_n ightarrow 1$ है। तब $f(x_n) = f(2x_n - 1)$ होता है।संबंध को दोहराने पर, $f(x) = f(1)$ सभी $x$ के लिए प्राप्त होता है क्योंकि अनुक्रम $x_{n+1} = \frac{x_n + 1}{2}$, $1$ की ओर अभिसरित होता है।चूंकि $f(1) = 1$ है, इसलिए $f(x) = 1$ सभी $x \in R$ के लिए प्राप्त होता है।अतः, $f(2) = 1$ और $f$ एक अचर फलन है, जो हर जगह सतत है।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार है कि सभी $x \in R$ के लिए $f(2x-1) = f(x)$ है। यदि $f$, $x = 1$ पर सतत है और $f(1) = 1$ है, तो:

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फलन $f(x) = \begin{cases} (x^2 + e^{\frac{1}{2-x}})^{-1} & x \neq 2 \\ k & x = 2 \end{cases}$ बिंदु $x = 2$ पर दाईं ओर से सतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$f(0)$ का वह मान क्या होना चाहिए ताकि फलन $f(x)=(x+1)^{\cot x}$, $x=0$ पर संतत हो?

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{a|x|+x^2-2(\sin |x|)(\cos |x|)}{x} & , x \neq 0 \\ b & , x=0 \end{cases}$ बिंदु $x=0$ पर सतत है, तो $a+b$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x} + \cos x, & x \ne 0 \\ 2, & x = 0 \end{cases}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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