मान लीजिए S = frac{1}{25!} + frac{1}{3!23!} + | vedclass

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Question

(C) हमारे पास $S = \sum_{r=0}^{12} \frac{1}{(2r+1)!(25-2r)!}$ है।$26!$ से गुणा और भाग करने पर:$S = \frac{1}{26!} \sum_{r=0}^{12} \frac{26!}{(2r+1)!(25

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$49$

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(C) हमारे पास $S = \sum_{r=0}^{12} \frac{1}{(2r+1)!(25-2r)!}$ है।$26!$ से गुणा और भाग करने पर:$S = \frac{1}{26!} \sum_{r=0}^{12} \frac{26!}{(2r+1)!(25-2r)!} = \frac{1}{26!} \sum_{r=0}^{12} {}^{26}C_{2r+1}$।विषम द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{r=0}^{12} {}^{26}C_{2r+1} = {}^{26}C_1 + {}^{26}C_3 + \dots + {}^{26}C_{25} = 2^{26-1} = 2^{25}$ होता है।अतः, $S = \frac{2^{25}}{26!}$।दिया गया है $13S = \frac{2^k}{n!}$, इसलिए $13 	imes \frac{2^{25}}{26!} = \frac{13 	imes 2^{25}}{26 	imes 25!} = \frac{2^{25}}{2 	imes 25!} = \frac{2^{24}}{25!}$।$\frac{2^k}{n!}$ से तुलना करने पर, $k = 24$ और $n = 25$ प्राप्त होता है।इसलिए, $n + k = 25 + 24 = 49$।

मान लीजिए $S = \frac{1}{25!} + \frac{1}{3!23!} + \frac{1}{5!21!} + \dots$ $13$ पदों तक है। यदि $13S = \frac{2^{k}}{n!}$ जहाँ $k \in N$ है, तो $n + k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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