मान लीजिए S_1 = sum_{j=1}^{10} j(j-1) binom{1 | vedclass

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Question

(C) हम जानते हैं कि $\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} x^j = (1+x)^n$. $n=10$ के लिए,$\sum_{j=0}^{10} \binom{10}{j} x^j = (1+x)^{10}$. $x$ के सापेक्ष अवकलन

Vedclass · Accepted Answer

$(A)$ सत्य है,लेकिन $(R)$ असत्य है

Vedclass · Answer

(C) हम जानते हैं कि $\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} x^j = (1+x)^n$. $n=10$ के लिए,$\sum_{j=0}^{10} \binom{10}{j} x^j = (1+x)^{10}$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\sum_{j=1}^{10} j \binom{10}{j} x^{j-1} = 10(1+x)^9$. $x=1$ रखने पर,$S_2 = \sum_{j=1}^{10} j \binom{10}{j} = 10(2^9) = 5 	imes 2^{10} = 20 	imes 2^8$. अतः,कारण $(R)$ में $S_2$ का मान गलत है। $S_1$ के लिए,$\sum_{j=2}^{10} j(j-1) \binom{10}{j} x^{j-2} = 10 	imes 9(1+x)^8$. $x=1$ रखने पर,$S_1 = 90 	imes 2^8$. चूंकि $S_3 = \sum j^2 \binom{10}{j} = \sum (j(j-1) + j) \binom{10}{j} = S_1 + S_2 = 90 	imes 2^8 + 10 	imes 2^9 = 90 	imes 2^8 + 20 	imes 2^8 = 110 	imes 2^8 = 55 	imes 2^9$. कथन $(A)$ सत्य है,लेकिन कारण $(R)$ असत्य है क्योंकि $S_2 = 20 	imes 2^8$ है।

मान लीजिए $S_1 = \sum_{j=1}^{10} j(j-1) \binom{10}{j}$,$S_2 = \sum_{j=1}^{10} j \binom{10}{j}$,और $S_3 = \sum_{j=1}^{10} j^2 \binom{10}{j}$.
कथन $(A) : S_3 = 55 \times 2^9$
कारण $(R) : S_1 = 90 \times 2^8$ और $S_2 = 10 \times 2^8$

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