मान लीजिए cos(alpha+beta)=-frac{1}{10} और sin | vedclass

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Question

(C) दिया है $\cos(\alpha+\beta) = -\frac{1}{10}$. चूँकि $0 < \alpha < \frac{\pi}{3}$ और $0 < \beta < \frac{\pi}{4}$, इसलिए $0 < \alpha+

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(C) दिया है $\cos(\alpha+\beta) = -\frac{1}{10}$. चूँकि $0 < \alpha < \frac{\pi}{3}$ और $0 < \beta < \frac{\pi}{4}$, इसलिए $0 < \alpha+\beta < \frac{7\pi}{12}$. चूँकि $\cos(\alpha+\beta) < 0$, इसलिए $\frac{\pi}{2} < \alpha+\beta < \frac{7\pi}{12}$.
अतः, $\sin(\alpha+\beta) = \sqrt{1 - (-\frac{1}{10})^2} = \sqrt{\frac{99}{100}} = \frac{3\sqrt{11}}{10}$.
इसलिए, $	an(\alpha+\beta) = \frac{3\sqrt{11}/10}{-1/10} = -3\sqrt{11}$.
दिया है $\sin(\alpha-\beta) = \frac{3}{8}$. चूँकि $0 < \alpha < \frac{\pi}{3}$ और $0 < \beta < \frac{\pi}{4}$, इसलिए $-\frac{\pi}{4} < \alpha-\beta < \frac{\pi}{3}$. चूँकि $\sin(\alpha-\beta) > 0$, इसलिए $0 < \alpha-\beta < \frac{\pi}{3}$.
अतः, $\cos(\alpha-\beta) = \sqrt{1 - (\frac{3}{8})^2} = \sqrt{\frac{55}{64}} = \frac{\sqrt{55}}{8}$.
इसलिए, $	an(\alpha-\beta) = \frac{3/8}{\sqrt{55}/8} = \frac{3}{\sqrt{55}}$.
अब, $	an 2\alpha = 	an((\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)) = \frac{	an(\alpha+\beta) + 	an(\alpha-\beta)}{1 - 	an(\alpha+\beta)	an(\alpha-\beta)}$.
मान रखने पर, $	an 2\alpha = \frac{-3\sqrt{11} + \frac{3}{\sqrt{55}}}{1 - (-3\sqrt{11})(\frac{3}{\sqrt{55}})} = \frac{\frac{-3\sqrt{11}\sqrt{55} + 3}{\sqrt{55}}}{1 + \frac{9\sqrt{11}}{\sqrt{55}}} = \frac{-3(11\sqrt{5}) + 3}{\sqrt{55} + 9\sqrt{11}} = \frac{3(1 - 11\sqrt{5})}{\sqrt{11}(\sqrt{5} + 9)}$.
$\frac{3(1-r\sqrt{5})}{\sqrt{11}(s+\sqrt{5})}$ से तुलना करने पर, हमें $r=11$ और $s=9$ प्राप्त होता है।
अतः, $r+s = 11+9 = 20$.

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