माना $f: R \to R$ एक दो बार अवकलनीय फलन है, इस प्रकार कि $m$ में द्विघात समीकरण $f(x)m^{2}-2f^{\prime}(x)m+f^{\prime\prime}(x)=0$ के प्रत्येक $x \in R$ के लिए दो समान मूल हैं। यदि $f(0)=1$, $f^{\prime}(0)=2$ और $(\alpha, \beta)$ वह सबसे बड़ा अंतराल है जिसमें फलन $g(x) = f(\log_{e}x-x)$ वर्धमान है, तो $\alpha+\beta$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $f(x) = \begin{cases} x^{3}-3x+2, & x < 2 \\ x^{3}-6x^{2}+9x+2, & x \geq 2 \end{cases}$ है, तो:

किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$f_n:(0, \infty) \rightarrow R$ को $f_n(x)=\sum_{j=1}^n \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+(x+j)(x+j-1)}\right)$ के रूप में परिभाषित करें,जहाँ $x \in(0, \infty)$ है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $\sum_{j=1}^5 \tan ^2(f_j(0))=55$
$(B)$ $\sum_{j=1}^{10}(1+f_j'(0)) \sec ^2(f_j(0))=10$
$(C)$ किसी भी निश्चित धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$\lim _{x \rightarrow \infty} \tan (f_n(x))=\frac{1}{n}$
$(D)$ किसी भी निश्चित धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$\lim _{x \rightarrow \infty} \sec ^2(f_n(x))=1$

समीकरण $e^{x-1} + \log x + x - 2 = 0$, जहाँ $x > 0$ है, के वास्तविक मूलों की संख्या क्या है?

यदि एक फलन $f(x)$ जो $f(x)=\begin{cases} a e^{x}+b e^{-x}, & -1 \leq x<1 \\ c x^{2}, & 1 \leq x \leq 3 \\ a x^{2}+2 c x, & 3 < x \leq 4 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,कुछ $a, b, c \in R$ के लिए सतत है और $f'(0)+f'(2)=e$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

List-$I$ की वस्तुओं को List-$II$ की वस्तुओं के साथ सुमेलित कीजिए।

List-$I$	List-$II$
$A. \frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right)\right)$	$(i) \log(x+\sqrt{1+x^2})$
$B. \frac{d}{dx}\left(\frac{3+|x-1|}{3x+4}\right)$	$(ii) -\frac{4x}{(1+x^2)^2}$
$C. \sinh^{-1} x$	$(iii) \frac{1}{2}$
$D. \frac{d^2}{dx^2}\left(\cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right)$	$(iv) \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
	$(v) \text{not differentiable at } x=1$