मान लीजिए f(x) = int frac{16x + 24}{x^2 + 2x | vedclass

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Question

(C) सबसे पहले, हम समाकल्य को आंशिक भिन्नों में विभाजित करते हैं:$\frac{16x+24}{(x+5)(x-3)} = \frac{A}{x+5} + \frac{B}{x-3}$$16x+24 = A(x-3) + B(x+5)$$

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$39$

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(C) सबसे पहले, हम समाकल्य को आंशिक भिन्नों में विभाजित करते हैं:$\frac{16x+24}{(x+5)(x-3)} = \frac{A}{x+5} + \frac{B}{x-3}$$16x+24 = A(x-3) + B(x+5)$$x=3$ रखने पर, $72 = 8B \implies B=9$ प्राप्त होता है।$x=-5$ रखने पर, $-56 = -8A \implies A=7$ प्राप्त होता है।अतः, $f(x) = \int (\frac{7}{x+5} + \frac{9}{x-3}) dx = 7 \log|x+5| + 9 \log|x-3| + C$।दिया गया है कि $f(4) = 14 \log 3$, इसलिए $7 \log 9 + 9 \log 1 + C = 14 \log 3 + C = 14 \log 3$, जिससे $C=0$ प्राप्त होता है।अब, $f(7) = 7 \log|7+5| + 9 \log|7-3| = 7 \log 12 + 9 \log 4$ की गणना करते हैं।$f(7) = 7 \log(2^2 \cdot 3) + 9 \log(2^2) = 7(2 \log 2 + \log 3) + 18 \log 2 = 14 \log 2 + 7 \log 3 + 18 \log 2 = 32 \log 2 + 7 \log 3 = \log(2^{32} \cdot 3^7)$।$\log(2^\alpha \cdot 3^\beta)$ से तुलना करने पर, हमें $\alpha = 32$ और $\beta = 7$ प्राप्त होता है।इसलिए, $\alpha + \beta = 32 + 7 = 39$।

मान लीजिए $f(x) = \int \frac{16x + 24}{x^2 + 2x - 15} dx$ है। यदि $f(4) = 14 \log_e(3)$ और $f(7) = \log_e(2^\alpha \cdot 3^\beta)$, जहाँ $\alpha, \beta \in N$, तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए:

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