मान लीजिए f(x) = begin{cases} x^3+8; x

Question

(A) सबसे पहले, $x=0$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करें। $f(0^-) = \lim_{x 	o 0^-} (x^3+8) = 8$. $f(0^+) = \lim_{x 	o 0^+} (x^2-4) = -4$. चूँकि $f(

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$1$

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(A) सबसे पहले, $x=0$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करें। $f(0^-) = \lim_{x 	o 0^-} (x^3+8) = 8$. $f(0^+) = \lim_{x 	o 0^+} (x^2-4) = -4$. चूँकि $f(0^-) 
eq f(0^+)$, इसलिए $f(x)$, $x=0$ पर असंतत है। अब, संयुक्त फलन $g(f(x))$ पर विचार करें। $x=0$ पर, बायाँ सीमा $g(f(0^-)) = g(8)$ है। चूँकि $8 \ge 0$, इसलिए $g(8) = (8+4)^{1/2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$। दायाँ सीमा $g(f(0^+)) = g(-4)$ है। चूँकि $-4 चूँकि $g(f(0^-)) 
eq g(f(0^+))$, इसलिए $g(f(x))$, $x=0$ पर असंतत है। आगे, उन बिंदुओं की जाँच करें जहाँ $f(x)$ ऐसे मान लेता है जो $g(f(x))$ को असंतत बनाते हैं। $g(u)$ अपने डोमेन में सभी $u$ के लिए संतत है। हम जाँचते हैं कि क्या $f(x)$ सीमा $u=0$ को पार करता है जहाँ $g(u)$ अपनी परिभाषा बदलता है। $x $x \ge 0$ के लिए, $f(x) = x^2-4 = 0 \implies x = 2$। $x=2$ पर, $f(2)=0$। $g(f(2)) = g(0) = 2$। सीमा मौजूद है और यह संतत है। अतः, असंततता का एकमात्र बिंदु $x=0$ है। बिंदुओं की संख्या $1$ है।

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यदि $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ के लिए $f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{\log(2+x) - x^{2n} \sin x}{1+x^{2n}} \right)$ है, तो $x=1$ पर $f(x)$ है

यदि $x \neq 0$ के लिए $f(x) = |x|/x$ और $x = 0$ के लिए $1$ है,तो फलन है

यदि फलन $f(x) = \left(\frac{5x-8}{8-3x}\right)^{\frac{3}{2x-4}}$ जब $x \neq 2$ और $f(2) = k$,$x = 2$ पर सतत है,तो $k =$

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{8^x-4^x-2^x+1}{x^2}, & \text{यदि } x > 0 \\ e^x \sin x + x + \lambda \log 4, & \text{यदि } x \leqslant 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $1000 e^\lambda = $ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x) = [x]$,जहाँ $[x]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $x$ से बड़ा नहीं है,है

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