मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} -5 & -3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ है। पंक्ति रूपांतरण $R_1 \to R_1 + 3R_2$, आव्यूह $A$ को किसमें रूपांतरित करेगा?

एक पंक्ति आव्यूह (row matrix) में केवल होती है

मान लीजिए $T$ और $U$ क्रमशः $\mathbb{R}$ पर $3$ कोटि के सभी ऑर्थोगोनल आव्यूहों का समुच्चय और $\mathbb{R}$ पर $3$ कोटि के सभी व्युत्क्रमणीय (non-singular) आव्यूहों का समुच्चय हैं। मान लीजिए $A = \{-1, 0, 1\}$, तो:

दो किसान,रामकिशन और गुरचरण सिंह,केवल तीन प्रकार के चावल उगाते हैं: बासमती,परमल और नौरा। सितंबर और अक्टूबर के महीनों में दोनों किसानों द्वारा इन चावलों की बिक्री (रुपयों में) निम्नलिखित आव्यूहों $A$ और $B$ द्वारा दी गई है।
सितंबर की बिक्री (रुपयों में)
$A = \begin{bmatrix} \text{बासमती} & \text{परमल} & \text{नौरा} \\ 10,000 & 20,000 & 30,000 \\ 50,000 & 30,000 & 10,000 \end{bmatrix} \begin{matrix} \\ \text{रामकिशन} \\ \text{गुरचरण सिंह} \end{matrix}$
अक्टूबर की बिक्री (रुपयों में)
$B = \begin{bmatrix} \text{बासमती} & \text{परमल} & \text{नौरा} \\ 5,000 & 10,000 & 6,000 \\ 20,000 & 10,000 & 10,000 \end{bmatrix} \begin{matrix} \\ \text{रामकिशन} \\ \text{गुरचरण सिंह} \end{matrix}$
$(i)$ प्रत्येक किसान के लिए प्रत्येक प्रकार के चावल की सितंबर और अक्टूबर की कुल बिक्री ज्ञात कीजिए।
$(ii)$ सितंबर से अक्टूबर तक बिक्री में हुई कमी ज्ञात कीजिए।
$(iii)$ यदि दोनों किसानों को कुल बिक्री पर $2\%$ लाभ मिलता है,तो अक्टूबर में प्रत्येक किसान और प्रत्येक प्रकार के चावल के लिए लाभ की गणना कीजिए।

यदि $A = \begin{bmatrix} 1/3 & 2 \\ 0 & 2x - 3 \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ और $AB = I$ है,तो $x =$

यदि $I$ कोटि $2$ का तत्समक आव्यूह (identity matrix) है और $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है, तो $n \geq 1$ के लिए, गणितीय आगमन (mathematical induction) से क्या प्राप्त होता है?