मान लीजिए a, b, c शून्येतर वास्तविक संख्याएँ | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण: $\int_0^3 {(3ax^2 + 2bx + c)\,dx} = \int_1^3 {(3ax^2 + 2bx + c)\,dx}$.निश्चित समाकलन के गुण $\int_0^3 f(x)dx = \int_0^1 f(x)dx +

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$a + b + c = 0$

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(C) दिया गया समीकरण: $\int_0^3 {(3ax^2 + 2bx + c)\,dx} = \int_1^3 {(3ax^2 + 2bx + c)\,dx}$.निश्चित समाकलन के गुण $\int_0^3 f(x)dx = \int_0^1 f(x)dx + \int_1^3 f(x)dx$ का उपयोग करते हुए,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:$\int_0^1 {(3ax^2 + 2bx + c)\,dx} + \int_1^3 {(3ax^2 + 2bx + c)\,dx} = \int_1^3 {(3ax^2 + 2bx + c)\,dx}$.दोनों पक्षों से $\int_1^3 {(3ax^2 + 2bx + c)\,dx}$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:$\int_0^1 {(3ax^2 + 2bx + c)\,dx} = 0$.अब,समाकलन का मूल्यांकन करने पर:$\left[ ax^3 + bx^2 + cx \right]_0^1 = 0$.सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:$(a(1)^3 + b(1)^2 + c(1)) - (a(0)^3 + b(0)^2 + c(0)) = 0$.$a + b + c = 0$.

मान लीजिए $a, b, c$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं ताकि $\int_0^3 {(3ax^2 + 2bx + c)\,dx} = \int_1^3 {(3ax^2 + 2bx + c)\,dx}$,तो

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निश्चित समाकलन $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \sin 2x \sin 3x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए:

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यदि $\int_0^b \frac{dx}{1+x^2} = \int_b^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}$ है,तो $b$ का मान ज्ञात कीजिए।

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