मान लीजिए P परवलय {y^2} = 8x पर स्थित एक बिंद | vedclass

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Question

(C) किसी बिंदु से वक्र की न्यूनतम दूरी उस बिंदु पर वक्र के अभिलंब (normal) के अनुदिश होती है। परवलय ${y^2} = 8x$ के लिए,$4a = 8$,इसलिए $a = 2$ है। बिं

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${x^2} + {y^2} - 4x + 8y + 12 = 0$

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(C) किसी बिंदु से वक्र की न्यूनतम दूरी उस बिंदु पर वक्र के अभिलंब (normal) के अनुदिश होती है। परवलय ${y^2} = 8x$ के लिए,$4a = 8$,इसलिए $a = 2$ है। बिंदु $P(at^2, 2at) = (2t^2, 4t)$ पर परवलय का अभिलंब $y = -tx + 2at + at^3$ द्वारा दिया जाता है। $a = 2$ रखने पर,अभिलंब $y = -tx + 4t + 2t^3$ है। चूंकि यह अभिलंब वृत्त के केंद्र $C(0, -6)$ से गुजरता है,इसलिए: $-6 = -t(0) + 4t + 2t^3 $ $\Rightarrow 2t^3 + 4t + 6 = 0 $ $\Rightarrow t^3 + 2t + 3 = 0$। निरीक्षण द्वारा,$t = -1$ एक मूल है। $t = -1$ के लिए,बिंदु $P$ का मान $(2(-1)^2, 4(-1)) = (2, -4)$ है। दूरी $CP$ अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या $r$ है: $r^2 = CP^2 = (2 - 0)^2 + (-4 - (-6))^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$। केंद्र $P(2, -4)$ और त्रिज्या का वर्ग $r^2 = 8$ वाले वृत्त का समीकरण है: $(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 8 $ $\Rightarrow x^2 - 4x + 4 + y^2 + 8y + 16 = 8 $ $\Rightarrow x^2 + y^2 - 4x + 8y + 12 = 0$।

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