मान लीजिए A वास्तविक प्रविष्टियों वाला एक 2 t | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $A^2 = I$। दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $\det(A^2) = \det(I) = 1$ प्राप्त होता है।चूंकि $\det(A^2) = (\det(A))^2$,इसलिए $(\det(

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कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ असत्य है।

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(D) दिया गया है $A^2 = I$। दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $\det(A^2) = \det(I) = 1$ प्राप्त होता है।चूंकि $\det(A^2) = (\det(A))^2$,इसलिए $(\det(A))^2 = 1$,जिसका अर्थ है कि $\det(A) = 1$ या $\det(A) = -1$ है।यदि $\det(A) = 1$ है,तो अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - tr(A)\lambda + 1 = 0$ है। $A^2 = I$ होने के कारण,आइगेन मान $\pm 1$ हैं। यदि $\det(A) = 1$ है,तो आइगेन मान $(1, 1)$ या $(-1, -1)$ हैं।यदि आइगेन मान $(1, 1)$ हैं,तो $A = I$ है। यदि आइगेन मान $(-1, -1)$ हैं,तो $A = -I$ है।अतः,यदि $A 
eq I$ और $A 
eq -I$ है,तो $\det(A) = -1$ होना चाहिए। इसलिए,कथन-$1$ सत्य है।कथन-$2$ के लिए,यदि $A^2 = I$ है,तो आइगेन मान $\lambda_1, \lambda_2 \in \{1, -1\}$ हैं।यदि $A 
eq I$ और $A 
eq -I$ है,तो आइगेन मान $1$ और $-1$ होने चाहिए।$A$ का ट्रेस आइगेन मानों का योग है,इसलिए $tr(A) = 1 + (-1) = 0$ है।इसलिए,कथन-$2$ असत्य है क्योंकि इस स्थिति में $tr(A) = 0$ होना चाहिए।

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