माना y(x) अवकल समीकरण (x log x) frac{dy}{dx} | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$ है।$(x \log x)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = 2$ प्र

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$ है।$(x \log x)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = 2$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{x \log x}$ और $Q(x) = 2$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx} = e^{\log(\log x)} = \log x$ है।व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + C$ है।$y \cdot \log x = \int 2 \log x dx = 2(x \log x - x) + C$.$y(1) = 0$ दिया गया है,$x = 1$ रखने पर $0 \cdot \log(1) = 2(1 \log 1 - 1) + C \Rightarrow 0 = 2(0 - 1) + C \Rightarrow C = 2$ प्राप्त होता है।अतः,$y \log x = 2x \log x - 2x + 2$.$x = e$ पर,$y \log e = 2e \log e - 2e + 2$.चूँकि $\log e = 1$,इसलिए $y(1) = 2e - 2e + 2$,जिसका सरल रूप $y = 2$ है।

माना $y(x)$ अवकल समीकरण $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$,$(x \ge 1)$ का हल है। तो $y(e)$ का मान ज्ञात कीजिए: $[y(1) = 0]$

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