मान लीजिए y = {x}^{[x]} जहाँ {x} x का भिन्नात | vedclass

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Question

(D) हमें समाकलन $I = \int_{0}^{3} \{x\}^{[x]} \, dx$ का मान ज्ञात करना है। चूंकि फलन में $[x]$ शामिल है,हम समाकलन को पूर्णांक बिंदुओं पर विभाजित करते

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(D) हमें समाकलन $I = \int_{0}^{3} \{x\}^{[x]} \, dx$ का मान ज्ञात करना है। चूंकि फलन में $[x]$ शामिल है,हम समाकलन को पूर्णांक बिंदुओं पर विभाजित करते हैं: $I = \int_{0}^{1} \{x\}^{[x]} \, dx + \int_{1}^{2} \{x\}^{[x]} \, dx + \int_{2}^{3} \{x\}^{[x]} \, dx$. $x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $\{x\}^{[x]} = \{x\}^{0} = 1$ ($x 
eq 0$ के लिए)। अतः,$\int_{0}^{1} 1 \, dx = 1$. $x \in [1, 2)$ के लिए,$[x] = 1$,इसलिए $\{x\}^{[x]} = \{x\}^{1} = x - 1$. अतः,$\int_{1}^{2} (x - 1) \, dx = [\frac{(x-1)^2}{2}]_{1}^{2} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$. $x \in [2, 3)$ के लिए,$[x] = 2$,इसलिए $\{x\}^{[x]} = \{x\}^{2} = (x - 2)^2$. अतः,$\int_{2}^{3} (x - 2)^2 \, dx = [\frac{(x-2)^3}{3}]_{2}^{3} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$. इन मानों को जोड़ने पर: $I = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6+3+2}{6} = \frac{11}{6}$.

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