मान लीजिए f एक सतत फलन है जो f'(ln x) = begin | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f'(\ln x) = \begin{cases} 1 & 0  1 \end{cases}$।मान लीजिए $\ln x = t$,तो $x = e^t$।$x > 1$ के लिए,$t > 0$,इसलिए $

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$f(x) = \begin{cases} x & x \le 0 \ e^x - 1 & x > 0 \end{cases}$

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(D) दिया गया है $f'(\ln x) = \begin{cases} 1 & 0  1 \end{cases}$।मान लीजिए $\ln x = t$,तो $x = e^t$।$x > 1$ के लिए,$t > 0$,इसलिए $f'(t) = e^t$।समाकलन करने पर,$f(t) = e^t + C_1$।चूंकि $f$ बिंदु $t=0$ पर सतत है,हम बाईं ओर की सीमा का उपयोग करते हैं: $f(0) = 0$।$f(0) = e^0 + C_1 = 0 \implies 1 + C_1 = 0 \implies C_1 = -1$।अतः,$x > 0$ के लिए $f(x) = e^x - 1$।$0 समाकलन करने पर,$f(t) = t + C_2$।$f(0) = 0$ दिया गया है,इसलिए $0 + C_2 = 0 \implies C_2 = 0$।अतः,$x \le 0$ के लिए $f(x) = x$।इन दोनों को मिलाने पर,$f(x) = \begin{cases} x & x \le 0 \ e^x - 1 & x > 0 \end{cases}$।

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