मान लीजिए e^{f(x)} = ln x है। यदि g(x),f(x) क | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $e^{f(x)} = \ln x$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर,हमें $f(x) = \ln(\ln x)$ प्राप्त होता है।चूंकि $g(x)$

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$e^{(x + e^x)}$

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(C) दिया गया है $e^{f(x)} = \ln x$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर,हमें $f(x) = \ln(\ln x)$ प्राप्त होता है।चूंकि $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम फलन है,इसलिए $f(g(x)) = x$ होगा।$f$ के व्यंजक में $g(x)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\ln(\ln(g(x))) = x$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का घातांक (exponentiation) लेने पर,$\ln(g(x)) = e^x$ प्राप्त होता है।पुनः घातांक लेने पर,$g(x) = e^{e^x}$ प्राप्त होता है।अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $g(x)$ का अवकलन करने पर:$g'(x) = \frac{d}{dx}(e^{e^x}) = e^{e^x} \cdot \frac{d}{dx}(e^x) = e^{e^x} \cdot e^x$।घातांक के गुणधर्म $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करने पर,$g'(x) = e^{e^x + x}$ प्राप्त होता है।अतः,सही विकल्प $C$ है।

मान लीजिए $e^{f(x)} = \ln x$ है। यदि $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम फलन (inverse function) है,तो $g'(x)$ किसके बराबर है?

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