ધારો કે $h$ એ વિવૃત અંતરાલ $J$ પર બે વાર સતત વિકલનીય ધન વિધેય છે. દરેક $x \in J$ માટે $g(x) = \ln(h(x))$ લો. ધારો કે દરેક $x \in J$ માટે $(h'(x))^2 > h''(x) h(x)$ છે. તો

$\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\int_2^{\sec ^2 x} f(t) d t}{x^2-\frac{\pi^2}{16}}$ ની કિંમત શોધો.

List-$I$ માં આપેલી વસ્તુઓને List-$II$ ની વસ્તુઓ સાથે જોડો:

List-$I$	List-$II$
$a$. જો $y=|x|+|x-2|$ હોય, તો $x=2$ આગળ $\frac{dy}{dx}=$	$i$. $2$
$b$. જો $f(x)=|\cos 2x|$ હોય, તો $f^{\prime}(\frac{\pi}{4}+)=$	$ii$. $0$
$c$. જો $f(x)=\sin(\pi[x])$ હોય, જ્યાં $[\cdot]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે, તો $f^{\prime}(1-)=$	$iii$. $-2$
$d$. જો $f(x)=\log|x-1|, x \neq 1$ હોય, તો $f^{\prime}(\frac{1}{2})=$	$iv$. અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી

જો $f(x) = 4x^3 - x^2 - 2x + 1$ અને $g(x) = \begin{cases} \min \{f(t) : 0 \le t \le x\} & ; 0 \le x \le 1 \\ 3 - x & ; 1 < x \le 2 \end{cases}$ હોય,તો $g\left( \frac{1}{4} \right) + g\left( \frac{3}{4} \right) + g\left( \frac{5}{4} \right)$ ની કિંમત શોધો.

સમીકરણ $\log_{e} x + ex = 0$ ના વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $f: R \rightarrow (0, \infty)$ અને $g: R \rightarrow R$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેયો છે જેથી $f^{\prime \prime}$ અને $g^{\prime \prime}$ એ $R$ પર સતત વિધેયો છે. ધારો કે $f^{\prime}(2) = g(2) = 0$,$f^{\prime \prime}(2) \neq 0$ અને $g^{\prime}(2) \neq 0$. જો $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x) g(x)}{f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)} = 1$ હોય,તો: