मान लीजिए f(x) = x^3 + px + 1 है और निम्नलिखि | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = x^3 + px + 1$. तब $f'(x) = 3x^2 + p$.स्थिति $(i)$: यदि $p \geqslant 0$ है,तो सभी $x$ के लिए $f'(x) = 3x^2 + p \geqslant 0$ है।

Vedclass · Accepted Answer

कथन $(i)$ और $(ii)$ सही हैं और $(iii)$ गलत है।

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $f(x) = x^3 + px + 1$. तब $f'(x) = 3x^2 + p$.स्थिति $(i)$: यदि $p \geqslant 0$ है,तो सभी $x$ के लिए $f'(x) = 3x^2 + p \geqslant 0$ है। अतः,$f(x)$ मोनोटोनिक रूप से बढ़ रहा है। चूँकि $f(0) = 1$ और $\lim_{x 	o -\infty} f(x) = -\infty$ है,इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,$(-\infty, 0)$ में ठीक एक वास्तविक मूल मौजूद है। इसलिए,कथन $(i)$ सही है।स्थिति $(ii)$: यदि $-1  0$ और स्थानीय न्यूनतम मान $f(\sqrt{-p/3}) > 0$ है। चूँकि दोनों स्थानीय एक्सट्रीमा धनात्मक हैं,ग्राफ x-अक्ष को केवल एक बार (ऋणात्मक क्षेत्र में) काटता है। इसलिए,कथन $(ii)$ सही है।स्थिति $(iii)$: $f(x) = 0$ के तीन भिन्न वास्तविक मूल होने के लिए,स्थानीय अधिकतम मान धनात्मक और स्थानीय न्यूनतम मान ऋणात्मक होना चाहिए। $f_{max} \cdot f_{min} अतः,तीनों कथन सही हैं। हालाँकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $(B)$ है।

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