माना h(x) = intlimits_0^x {g(t)dt},जहाँ g(x) | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $h(x) = \int\limits_0^x g(t)dt$. चूँकि $g(x)$ एक विषम फलन है,$g(-t) = -g(t)$. $h(-x) = \int\limits_0^{-x} g(t)dt$ पर विचार करें। मान ल

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कथन $2$ और कथन $3$

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(B) दिया गया है $h(x) = \int\limits_0^x g(t)dt$. चूँकि $g(x)$ एक विषम फलन है,$g(-t) = -g(t)$. $h(-x) = \int\limits_0^{-x} g(t)dt$ पर विचार करें। मान लें $t = -u$,तो $dt = -du$. जब $t=0, u=0$ और जब $t=-x, u=x$. $h(-x) = \int\limits_0^x g(-u)(-du) = \int\limits_0^x -g(-u)du = \int\limits_0^x g(u)du = h(x)$. अतः,$h(-x) = h(x)$,जिसका अर्थ है कि $h(x) - h(-x) = 0$ और $h(x) + h(-x) = 2h(x) = 2\int\limits_0^x g(t)dt$. इसलिए,कथन $2$ सत्य है। कथन $3$ के लिए,$h(3n) = \int\limits_0^{3n} g(t)dt$. चूँकि $g(t)$ का आवर्तकाल $3$ है और यह एक विषम फलन है,$\int_0^3 g(t)dt = 0$. चूँकि एक विषम आवर्ती फलन का उसके आवर्तकाल पर समाकलन शून्य होता है,$h(3n) = n \int_0^3 g(t)dt = n(0) = 0$. इसलिए,कथन $3$ सत्य है। अतः,कथन $2$ और कथन $3$ सत्य हैं।

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यदि $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(\sin x) \,dx$,$J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(\cos x) \,dx$,और $K = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx$ है,तो:

$\int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x=$

$\int_{-4}^{4} (2^x + 2^{-x})(3^x + 3^{-x}) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-1}^1 \frac{\sin x-x^2}{3-|x|} d x=$

$\int_{0}^{1} x(1 - x)^{5} dx = . . . . . .$

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