ધારો કે $f(x) = \cot \left( \sin^{-1} \sqrt{\frac{2}{3 + \cos 2x}} \right)$ છે. તો $f'\left( \frac{2\pi}{3} \right)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x) = \tan^{-1} (\cot x - 2 \cot 2x)$,તો $\left[ \sum_{r = 1}^7 f(r) \right]$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે).

જો $\sin ^{-1} x + \sin ^{-1}(1-x) = \cos ^{-1} x$ હોય, તો $x \in$

$\sec ^2(\tan ^{-1} 3) + \operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 3) = $ . . . . . . .

ધારો કે $(x, y)$ એવા છે કે $\sin ^{-1}(a x)+\cos ^{-1}(y)+\cos ^{-1}(b x y)=\frac{\pi}{2}$. કોલમ $I$ ના વિધાનોને કોલમ $II$ ના વિધાનો સાથે જોડો.

કોલમ $I$	કોલમ $II$
$(A)$ જો $a=1$ અને $b=0$,તો $(x, y)$	$(p)$ વર્તુળ $x^2+y^2=1$ પર છે
$(B)$ જો $a=1$ અને $b=1$,તો $(x, y)$	$(q)$ $(x^2-1)(y^2-1)=0$ પર છે
$(C)$ જો $a=1$ અને $b=2$,તો $(x, y)$	$(r)$ $y=x$ પર છે
$(D)$ જો $a=2$ અને $b=2$,તો $(x, y)$	$(s)$ $(4x^2-1)(y^2-1)=0$ પર છે

જો $f(x) = \cot^{-1} \left( \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2} \right)$ અને $g(x) = \cos^{-1} \left( \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \right)$ હોય,તો $0 < a < \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)}$ ની કિંમત શોધો.