मान लीजिए vec{a} एक इकाई सदिश है और vec{b} एक | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए त्रिभुज की दो भुजाएँ $\vec{u} = \sqrt{3}(\vec{a} 	imes \vec{b})$ और $\vec{v} = \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a}$ हैं।सदिश त्रिक

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$

Vedclass · Answer

(C) मान लीजिए त्रिभुज की दो भुजाएँ $\vec{u} = \sqrt{3}(\vec{a} 	imes \vec{b})$ और $\vec{v} = \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a}$ हैं।सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\vec{a} 	imes (\vec{b} 	imes \vec{a}) = (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a}$।चूंकि $\vec{a}$ एक इकाई सदिश है,$\vec{a} \cdot \vec{a} = 1$,इसलिए $\vec{v} = \vec{a} 	imes (\vec{b} 	imes \vec{a})$।ध्यान दें कि $\vec{u}$ सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लंबवत है,और $\vec{v}$ सदिश $\vec{a}$ के लंबवत है।विशेष रूप से,$\vec{u} = \sqrt{3}(\vec{a} 	imes \vec{b})$ सदिश $\vec{v} = \vec{a} 	imes (\vec{b} 	imes \vec{a})$ के लंबवत है क्योंकि $\vec{a} 	imes \vec{b}$ उस तल के लंबवत है जिसमें $\vec{a}$ और $\vec{b}$ स्थित हैं,जबकि $\vec{a} 	imes (\vec{b} 	imes \vec{a})$ सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के तल में स्थित है।अतः,इन दो भुजाओं के बीच का कोण $90^{\circ}$ या $\frac{\pi}{2}$ है।मान लीजिए $	heta$ तीसरी भुजा और भुजा $\vec{v}$ के बीच का कोण है। तब $	an 	heta = \frac{|\vec{u}|}{|\vec{v}|}$।$|\vec{u}| = \sqrt{3} |\vec{a} 	imes \vec{b}| = \sqrt{3} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \phi = \sqrt{3} |\vec{b}| \sin \phi$,जहाँ $\phi$ सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।$|\vec{v}| = |\vec{a} 	imes (\vec{b} 	imes \vec{a})| = |\vec{a}| |\vec{b} 	imes \vec{a}| \sin(90^{\circ}) = |\vec{b}| \sin \phi$।इसलिए,$	an 	heta = \frac{\sqrt{3} |\vec{b}| \sin \phi}{|\vec{b}| \sin \phi} = \sqrt{3}$।इससे $	heta = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।तीसरा कोण $\pi - (\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{6}$ है।अतः,कोण $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ हैं।

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