मान लीजिए कि वक्रों $y^2=4x$ और $(x-4)^2+y^2=16$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा वक्रों को बिंदुओं $P$ और $Q$ पर स्पर्श करती है। तो $(PQ)^2$ का मान $..........$ है।

मान लीजिए $AB$ वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ की एक जीवा है जो केंद्र पर समकोण बनाती है। तो जैसे-जैसे $P$ वृत्त पर चलता है,$\Delta PAB$ के केंद्रक का बिंदुपथ क्या होगा?

$B$ और $C$ क्रमशः $(3, 0)$ और $(-3, 0)$ निर्देशांक वाले स्थिर बिंदु हैं। यदि शीर्ष कोण $\angle BAC = 90^o$ है,तो $\Delta ABC$ के केंद्रक का बिंदुपथ समीकरण क्या होगा?

माना वृत्त $C$,रेखा $2x-3y+5=0$ में $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ का प्रतिबिंब है। माना $A$,$C$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $OA$,$x$-अक्ष के समांतर है और $A$,$C$ के केंद्र $O$ के दाईं ओर स्थित है। यदि $B(\alpha, \beta)$,जहाँ $\beta < 4$,$C$ पर इस प्रकार स्थित है कि चाप $AB$ की लंबाई $C$ की परिधि का $(1/6)$ भाग है,तो $\beta - \sqrt{3}\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

दिया गया है: एक वृत्त $2x^2 + 2y^2 = 5$ और एक परवलय $y^2 = 4\sqrt{5}x$ है।
कथन-$1$: इन वक्रों के लिए एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण $y = x + \sqrt{5}$ है।
कथन-$2$: यदि रेखा $y = mx + \frac{\sqrt{5}}{m} (m \neq 0)$ उनकी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है,तो $m$,$m^4 - 3m^2 + 2 = 0$ को संतुष्ट करता है।

यदि $(x, y)$ वक्र $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ पर एक चर बिंदु है,तो व्यंजक $\frac{8}{(x - 1)^2} - \frac{(y - 1)^2}{4}$ का न्यूनतम मान क्या है?