मान लीजिए कि एक वक्र y=y(x) अवकल समीकरण cos l | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos \left(\frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(e^{-x}\right)\right) d x=\sqrt{e^{2 x}-1} \,d y$। मान लीजिए $\cos ^{-1}\left(e^{-x}\

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$2$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos \left(\frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(e^{-x}ight)ight) d x=\sqrt{e^{2 x}-1} \,d y$। मान लीजिए $\cos ^{-1}\left(e^{-x}ight)=	heta$,जहाँ $	heta \in[0, \pi]$। तब $\cos 	heta = e^{-x}$। सर्वसमिका $\cos 	heta = 2 \cos^2 \frac{	heta}{2} - 1$ का उपयोग करने पर,$2 \cos^2 \frac{	heta}{2} = 1 + e^{-x} = \frac{e^x + 1}{e^x}$। अतः,$\cos \frac{	heta}{2} = \sqrt{\frac{e^x + 1}{2e^x}}$। इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{\frac{e^x + 1}{2e^x}} dx = \sqrt{e^{2x} - 1} dy$। चूंकि $\sqrt{e^{2x} - 1} = \sqrt{(e^x - 1)(e^x + 1)}$,हमें प्राप्त होता है $\sqrt{\frac{e^x + 1}{2e^x}} dx = \sqrt{e^x - 1} \sqrt{e^x + 1} dy$। $\sqrt{e^x + 1}$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{\sqrt{2e^x}} dx = \sqrt{e^x - 1} dy$,जो सरल होकर $\frac{dx}{\sqrt{2} \sqrt{e^x(e^x - 1)}} = dy$ हो जाता है। मान लीजिए $e^x = t$,तब $e^x dx = dt \Rightarrow dx = \frac{dt}{t}$। अतः,$\int \frac{dt}{\sqrt{2} t \sqrt{t(t-1)}} = \int dy$। मान लीजिए $t = \frac{1}{z}$,तब $dt = -\frac{1}{z^2} dz$। प्रतिस्थापित करने पर: $\int \frac{-dz/z^2}{\sqrt{2} (1/z) \sqrt{1/z^2 - 1/z}} = \int dy \Rightarrow -\int \frac{dz}{\sqrt{2} \sqrt{1-z}} = y + C$। समाकलन करने पर: $\sqrt{2} \sqrt{1-z} = y + C \Rightarrow \sqrt{2} \sqrt{1 - e^{-x}} = y + C$। $x=0, y=-1$ पर: $\sqrt{2} \sqrt{1 - 1} = -1 + C \Rightarrow C = 1$। अतः,$\sqrt{2} \sqrt{1 - e^{-x}} = y + 1$। $x$-अक्ष प्रतिच्छेदन बिंदु $(\alpha, 0)$ के लिए,$y=0$ रखने पर: $\sqrt{2} \sqrt{1 - e^{-\alpha}} = 1$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2(1 - e^{-\alpha}) = 1 \Rightarrow 1 - e^{-\alpha} = \frac{1}{2} \Rightarrow e^{-\alpha} = \frac{1}{2}$। अतः,$e^{\alpha} = 2$।

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