माना एक रेखा $L: 2x + y = k, k > 0$ अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 3$ की स्पर्श रेखा है। यदि $L$ परवलय $y^2 = \alpha x$ की भी स्पर्श रेखा है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए:

अतिपरवलय $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ की एक नाभि को केंद्र मानकर एक वृत्त खींचा गया है जो अतिपरवलय को स्पर्श करता है और वृत्त का कोई भी भाग अतिपरवलय के बाहर नहीं है। वृत्त की त्रिज्या है

$AB$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की एक द्वि-कोटि (double ordinate) है,इस प्रकार कि $\Delta AOB$ (जहाँ $O$ मूलबिंदु है) एक समबाहु त्रिभुज है। तब अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ संतुष्ट करती है:

यदि आयताकार अतिपरवलय $xy = c^2$ के बिंदु $t$ पर अभिलंब वक्र को पुनः $t_1$ पर मिलता है,तो $t^3 t_1$ का मान किसके बराबर है?

वक्रों $C_{1}: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ और $C_{2}: \frac{x^{2}}{42}-\frac{y^{2}}{143}=1$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा $T$ चौथे चतुर्थांश से होकर नहीं गुजरती है। यदि $T$,$C_{1}$ को $(x_{1}, y_{1})$ पर और $C_{2}$ को $(x_{2}, y_{2})$ पर स्पर्श करती है,तो $|2x_{1} + x_{2}|$ का मान $......$ है।

$PQ$,परवलय $y^2 = 4ax$ की $P$ पर एक अभिलंब जीवा है,जहाँ $A$ परवलय का शीर्ष है। $P$ से $AQ$ के समानांतर एक रेखा खींची जाती है जो $x$-अक्ष को $R$ पर मिलती है। तब $AR$ की लंबाई है: