ધારો કે રેખા $L: 2x + y = k, k > 0$ એ અતિવલય $x^2 - y^2 = 3$ નો સ્પર્શક છે. જો $L$ એ પરવલય $y^2 = \alpha x$ નો પણ સ્પર્શક હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો:

$PQ$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ ની $P$ આગળની અભિલંબ જીવા છે,જ્યાં $A$ એ પરવલયનું શિરોબિંદુ છે. $P$ માંથી $AQ$ ને સમાંતર એક રેખા દોરવામાં આવે છે જે $x$-અક્ષને $R$ માં મળે છે. તો $AR$ ની લંબાઈ કેટલી થાય?

કયા વિધાનો સાચા છે તે ઓળખો.

જો $PQ$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની બેવડી કોટિ (double ordinate) હોય,જેથી $\triangle OPQ$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ બને,જ્યાં $O$ એ અતિવલયનું કેન્દ્ર છે,તો અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નીચેનામાંથી કઈ શરતનું પાલન કરે છે?

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ ના નાભિઓ $(f_1, 0)$ અને $(f_2, 0)$ છે,જ્યાં $f_1 > 0$ અને $f_2 < 0$ છે. ધારો કે $P_1$ અને $P_2$ બે પરવલયો છે જેનું શિરોબિંદુ $(0,0)$ છે અને નાભિઓ અનુક્રમે $(f_1, 0)$ અને $(2f_2, 0)$ છે. ધારો કે $T_1$ એ $P_1$ નો સ્પર્શક છે જે $(2f_2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $T_2$ એ $P_2$ નો સ્પર્શક છે જે $(f_1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. જો $m_1$ એ $T_1$ નો ઢાળ હોય અને $m_2$ એ $T_2$ નો ઢાળ હોય,તો $(\frac{1}{m_1^2} + m_2^2)$ ની કિંમત શું છે?

ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(b>a)$ અને પરવલય $y^2=8ax$ કાટખૂણે છેદે છે. જો $e$ એ ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો $e^4$ ની કિંમત કેટલી થાય?