मान लीजिए कि एक इकाई सदिश overrightarrow{C} ह | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $\overrightarrow{C} = C_1 \hat{i} + C_2 \hat{j} + C_3 \hat{k}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $C_1^2 + C_2^2 + C_3^2 = 1$ है। दिया गया है कि $\ov

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$\frac{\sqrt{2}}{3} \hat{i}-\frac{1}{2} \hat{k}$

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(D) मान लीजिए $\overrightarrow{C} = C_1 \hat{i} + C_2 \hat{j} + C_3 \hat{k}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $C_1^2 + C_2^2 + C_3^2 = 1$ है। दिया गया है कि $\overrightarrow{C} \cdot (2 \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}) = |\overrightarrow{C}| |2 \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}| \cos 60^{\circ} = 1 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ है। अतः,$2C_1 + 2C_2 - C_3 = \frac{3}{2}$ है। साथ ही,$\overrightarrow{C} \cdot (\hat{i} - \hat{k}) = |\overrightarrow{C}| |\hat{i} - \hat{k}| \cos 45^{\circ} = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$ है। अतः,$C_1 - C_3 = 1$,जिसका अर्थ है $C_3 = C_1 - 1$ है। $C_3$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $2C_1 + 2C_2 - (C_1 - 1) = \frac{3}{2} \implies C_1 + 2C_2 = \frac{1}{2} \implies C_2 = \frac{1}{4} - \frac{C_1}{2}$ है। $C_1^2 + C_2^2 + C_3^2 = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $C_1^2 + (\frac{1}{4} - \frac{C_1}{2})^2 + (C_1 - 1)^2 = 1$ प्राप्त होता है। इस द्विघात समीकरण को हल करने पर $C_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{3}$,$C_2 = -\frac{1}{3\sqrt{2}}$,और $C_3 = \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है। इस प्रकार,$\overrightarrow{C} = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{3}) \hat{i} - \frac{1}{3\sqrt{2}} \hat{j} + (\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{2}) \hat{k}$ है। दिए गए सदिश $(-\frac{1}{2} \hat{i} + \frac{1}{3\sqrt{2}} \hat{j} - \frac{\sqrt{2}}{3} \hat{k})$ को $\overrightarrow{C}$ में जोड़ने पर परिणाम $\frac{\sqrt{2}}{3} \hat{i} + 0 \hat{j} - \frac{1}{2} \hat{k} = \frac{\sqrt{2}}{3} \hat{i} - \frac{1}{2} \hat{k}$ प्राप्त होता है।

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