मान लीजिए कि वृत्त $x^2+y^2-16x-4y=0$ के केंद्र से गुजरने वाली एक चर रेखा धनात्मक निर्देशांक अक्षों को बिंदुओं $A$ और $B$ पर मिलती है। तो $OA+OB$ का न्यूनतम मान,जहाँ $O$ मूलबिंदु है,किसके बराबर है?

माना फलन $f(x) = 2x^{2} - \log_{e} x$,$x > 0$,अंतराल $(0, a)$ में ह्रासमान है और $(a, 4)$ में वर्धमान है। परवलय $y^{2} = 4ax$ के एक बिंदु $P$ पर खींची गई स्पर्श रेखा बिंदु $(8a, 8a - 1)$ से होकर गुजरती है लेकिन बिंदु $(-\frac{1}{a}, 0)$ से होकर नहीं गुजरती है। यदि $P$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} = 1$ है,तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A=(1,2)$,$B=(2,1)$ और $P$ कोई ऐसा बिंदु है जो $PA+PB=3$ शर्त को संतुष्ट करता है,तो $P$ के बिंदुपथ (locus) का समीकरण क्या है?

यदि $A(5, -4)$ और $B(7, 6)$ एक समतल में बिंदु हैं, तो समतल में उन सभी बिंदुओं $P(x, y)$ का समुच्चय क्या होगा जिनके लिए $AP:PB = 2:3$ है?

$a$ और $b$ लंबाई की दो छड़ें निर्देशांक अक्षों पर इस प्रकार फिसलती हैं कि उनके सिरे हमेशा एकवृत्तीय (concyclic) रहते हैं। सिरों से गुजरने वाले वृत्त के केंद्र का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $C$ एक वृत्त है जिसका केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $3$ इकाई है। वृत्त $C$ की उन जीवाओं के मध्य बिंदुओं का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जो केंद्र पर $\frac{2\pi}{3}$ का कोण बनाती हैं: