मान लीजिए कि एक सदिश alpha hat{i}+beta hat{j} | vedclass

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Question

(A) प्रारंभिक सदिश $\vec{v} = \sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}$ है। इसका परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$ है। धनात्मक $x$-अक्

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$\frac{1}{2}$

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(A) प्रारंभिक सदिश $\vec{v} = \sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}$ है। इसका परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$ है। धनात्मक $x$-अक्ष के साथ प्रारंभिक सदिश का कोण $	heta = 	an^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 30^{\circ}$ है। इस सदिश को $45^{\circ}$ वामावर्त दिशा में घुमाने पर नया कोण $	heta' = 30^{\circ} + 45^{\circ} = 75^{\circ}$ प्राप्त होता है। नया सदिश $\vec{v}' = |\vec{v}|(\cos 75^{\circ} \hat{i} + \sin 75^{\circ} \hat{j}) = 2(\cos 75^{\circ} \hat{i} + \sin 75^{\circ} \hat{j})$ है। अतः,$\alpha = 2 \cos 75^{\circ}$ और $\beta = 2 \sin 75^{\circ}$ है। त्रिभुज के शीर्ष $(\alpha, \beta), (0, \beta)$ और $(0,0)$ हैं। यह एक समकोण त्रिभुज है जिसका आधार $\alpha$ और ऊँचाई $\beta$ है। क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes 	ext{आधार} 	imes 	ext{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \alpha \beta = \frac{1}{2} (2 \cos 75^{\circ}) (2 \sin 75^{\circ}) = 2 \sin 75^{\circ} \cos 75^{\circ} = \sin(2 	imes 75^{\circ}) = \sin 150^{\circ} = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.

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