ધારો કે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \end{bmatrix}$ અને $A^3 - 8A^2 + \alpha A + \beta I = O$ છે,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(\alpha, \beta)$ શું છે?

જો $P$ એ એક નોન-સિંગ્યુલર મેટ્રિક્સ (શ્રેણિક) હોય કે જેથી $I+P+P^2+\ldots+P^{n}=0$ ($0$ એ શૂન્ય શ્રેણિક દર્શાવે છે), તો $P^{-1}=$

જો $\Delta_{r}=\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{3r-2} & \frac{2}{3r-5} \\ 0 & \frac{3}{3r+1}\end{array}\right|$, હોય તો $\sum_{r=1}^{33} \Delta_{r}=$

ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2+x-1=0$ ના ભિન્ન બીજ છે. ગણ $T=\{1, \alpha, \beta\}$ ધ્યાનમાં લો. $3 \times 3$ શ્રેણિક $M=(a_{ij})$ માટે,$R_i=a_{i1}+a_{i2}+a_{i3}$ અને $C_j=a_{1j}+a_{2j}+a_{3j}$ વ્યાખ્યાયિત કરો,જ્યાં $i=1,2,3$ અને $j=1,2,3$. $List-I$ ની દરેક એન્ટ્રીને $List-II$ ની સાચી એન્ટ્રી સાથે જોડો.

$List-I$	$List-II$
$(P)$ $T$ માં તમામ ઘટકો ધરાવતા $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ શ્રેણિકોની સંખ્યા કે જેથી તમામ $i, j$ માટે $R_i=C_j=0$ હોય તે	$(1)$ $1$
$(Q)$ $T$ માં તમામ ઘટકો ધરાવતા સંમિત શ્રેણિકો $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ ની સંખ્યા કે જેથી તમામ $j$ માટે $C_j=0$ હોય તે	$(2)$ $2$
$(R)$ ધારો કે $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે કે જેથી $i>j$ માટે $a_{ij} \in T$ છે. તો ગણ $\{\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}: x, y, z \in \mathbb{R}, M\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{12} \\ 0 \\ -a_{23} \end{bmatrix}\}$ માં ઘટકોની સંખ્યા	$(3)$ $\text{અનંત}$
$(S)$ ધારો કે $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ એ $T$ માં તમામ ઘટકો ધરાવતો શ્રેણિક છે કે જેથી તમામ $i$ માટે $R_i=0$ છે. તો $M$ ના નિશ્ચાયકનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય	$(4)$ $6$
	$(5)$ $0$

સ્તંભ $I$ માં આપેલા વિધાનોને સ્તંભ $II$ માં આપેલા અંતરાલો/અંતરાલોના યોગગણ સાથે જોડો.

સ્તંભ $I$	સ્તંભ $II$
$(A)$ ગણ $\{\operatorname{Re}(\frac{2 i z}{1-z^2}): |z|=1, z \neq \pm 1\}$ એ છે	$(p)$ $(-\infty,-1) \cup(1, \infty)$
$(B)$ $f(x)=\sin ^{-1}(\frac{8(3)^{x-2}}{1-3^{2(x-1)}})$ નો પ્રદેશ છે	$(q)$ $(-\infty, 0) \cup(0, \infty)$
$(C)$ જો $f(\theta)=\left|\begin{array}{ccc}1 & \tan \theta & 1 \\ -\tan \theta & 1 & \tan \theta \\ -1 & -\tan \theta & 1\end{array}\right|$,તો ગણ $\{f(\theta): 0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}\}$ છે	$(r)$ $[2, \infty)$
$(D)$ જો $f(x)=x^{3 / 2}(3 x-10), x \geq 0$,તો $f(x)$ એ કયા અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે	$(s)$ $(-\infty,-1] \cup[1, \infty)$
	$(t)$ $(-\infty, 0] \cup[2, \infty)$

$\theta = 0$ અને $\theta = \pi / 2$ ની વચ્ચે રહેલ $\theta$ ની કિંમત જે સમીકરણ : $\left| \begin{array}{ccc} 1 + \sin^2 \theta & \cos^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin^2 \theta & 1 + \cos^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin^2 \theta & \cos^2 \theta & 1 + 4 \sin 4 \theta \end{array} \right| = 0$ નું સમાધાન કરે છે તે છે :