मान लीजिए कि एक वृत्त का चाप AC केंद्र O पर ए | vedclass

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Question

(A) माना $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$,$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$,और $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$ है। चूँकि $A, B, C$ वृत्त पर स्थित हैं,$|\

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$2-\sqrt{3}$

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(A) माना $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$,$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$,और $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$ है। चूँकि $A, B, C$ वृत्त पर स्थित हैं,$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R$ है। चाप $AC$ केंद्र पर $90^{\circ}$ का कोण बनाता है,इसलिए $\vec{a}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है। चाप की लंबाई का अनुपात $AB:BC = 1:5$ है,इसलिए $\angle AOB = \frac{1}{6} 	imes 90^{\circ} = 15^{\circ}$ और $\angle BOC = \frac{5}{6} 	imes 90^{\circ} = 75^{\circ}$ है। $\vec{c} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b}$ है। $\vec{a}$ के साथ डॉट गुणन करने पर: $\vec{a} \cdot \vec{c} = \alpha |\vec{a}|^2 + \beta \vec{a} \cdot \vec{b} \Rightarrow 0 = \alpha + \beta \cos 15^{\circ} \Rightarrow \alpha = -\beta \cos 15^{\circ} \dots (1)$. $\vec{b}$ के साथ डॉट गुणन करने पर: $\vec{b} \cdot \vec{c} = \alpha \vec{a} \cdot \vec{b} + \beta |\vec{b}|^2 \Rightarrow \cos 75^{\circ} = \alpha \cos 15^{\circ} + \beta \dots (2)$. $(1)$ को $(2)$ में रखने पर: $\cos 75^{\circ} = -\beta \cos^2 15^{\circ} + \beta = \beta \sin^2 15^{\circ}$ प्राप्त होता है। अतः,$\beta = \frac{\cos 75^{\circ}}{\sin^2 15^{\circ}} = \frac{1}{\sin 15^{\circ}} = \sqrt{6}+\sqrt{2}$ है। $(1)$ से,$\alpha = -\beta \cos 15^{\circ} = -(2+\sqrt{3})$ है। अब $\alpha + \sqrt{2}(\sqrt{3}-1) \beta = -(2+\sqrt{3}) + \sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2}) = -(2+\sqrt{3}) + 4 = 2-\sqrt{3}$ है।

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