ધારો કે વર્તુળનો ચાપ AC કેન્દ્ર O પર કાટખૂણો | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$,$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$,અને $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$. $A, B, C$ વર્તુળ પર હોવાથી,$|\vec{a}|

Vedclass · Accepted Answer

$2-\sqrt{3}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$,$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$,અને $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$. $A, B, C$ વર્તુળ પર હોવાથી,$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R$. ચાપ $AC$ કેન્દ્ર પર $90^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરે છે,તેથી $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે. ચાપની લંબાઈનો ગુણોત્તર $AB:BC = 1:5$ હોવાથી,$\angle AOB = \frac{1}{6} 	imes 90^{\circ} = 15^{\circ}$ અને $\angle BOC = \frac{5}{6} 	imes 90^{\circ} = 75^{\circ}$. $\vec{c} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b}$ છે. $\vec{a}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર કરતા: $\vec{a} \cdot \vec{c} = \alpha |\vec{a}|^2 + \beta \vec{a} \cdot \vec{b} \Rightarrow 0 = \alpha + \beta \cos 15^{\circ} \Rightarrow \alpha = -\beta \cos 15^{\circ} \dots (1)$. $\vec{b}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર કરતા: $\vec{b} \cdot \vec{c} = \alpha \vec{a} \cdot \vec{b} + \beta |\vec{b}|^2 \Rightarrow \cos 75^{\circ} = \alpha \cos 15^{\circ} + \beta \dots (2)$. $(1)$ ને $(2)$ માં મૂકતા: $\cos 75^{\circ} = -\beta \cos^2 15^{\circ} + \beta = \beta \sin^2 15^{\circ}$. તેથી,$\beta = \frac{\cos 75^{\circ}}{\sin^2 15^{\circ}} = \frac{1}{\sin 15^{\circ}} = \sqrt{6}+\sqrt{2}$. $(1)$ પરથી,$\alpha = -\beta \cos 15^{\circ} = -(2+\sqrt{3})$. હવે $\alpha + \sqrt{2}(\sqrt{3}-1) \beta = -(2+\sqrt{3}) + \sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2}) = -(2+\sqrt{3}) + 4 = 2-\sqrt{3}$.

Similar Questions

જો $|a| = 3, |b| = 1, |c| = 4$ અને $a + b + c = 0$ હોય,તો $a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = $

જો $a$ અને $b$ એકમ સદિશો હોય અને $a+b$ પણ એકમ સદિશ હોય,તો $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો . . . . . . છે. ($^{\circ}$ માં)

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module